برای حل این مسئله، ابتدا فرض می‌کنیم که فاطمه \( x \) سکه 50 ریالی و \( y \) سکه 100 ریالی دارد. می‌خواهیم تعداد حالت‌هایی را پیدا کنیم که او بتواند مبلغ 300 ریال را با استفاده از این سکه‌ها پرداخت کند.
معادله‌ای که وضع می‌کنیم به شکل زیر است:
\[
50x + 100y = 300
\]
می‌توانیم این معادله را ساده‌تر کنیم. هر دو طرف را بر 50 تقسیم می‌کنیم:
\[
x + 2y = 6
\]
حال می‌خواهیم تمام حالت‌های ممکن برای \( x \) و \( y \) که این معادله را برقرار می‌کنند، پیدا کنیم. ابتدا به یاد داشته باشید که \( x \) و \( y \) باید اعداد غیرمنفی (صفر یا مثبت) باشند.
ما می‌توانیم مقداری \( y \) را انتخاب کنیم و سپس آن را در معادله قرار دهیم تا \( x \) را پیدا کنیم:
1. اگر \( y = 0 \):
\[
x + 2(0) = 6 \implies x = 6
\]
حالت: \( (x, y) = (6, 0) \)
2. اگر \( y = 1 \):
\[
x + 2(1) = 6 \implies x = 4
\]
حالت: \( (x, y) = (4, 1) \)
3. اگر \( y = 2 \):
\[
x + 2(2) = 6 \implies x = 2
\]
حالت: \( (x, y) = (2, 2) \)
4. اگر \( y = 3 \):
\[
x + 2(3) = 6 \implies x = 0
\]
حالت: \( (x, y) = (0, 3) \)
بعد از \( y = 3 \)، اگر مقدار \( y \) را بیشتر کنیم، \( x \) منفی می‌شود که پذیرفته نیست. بنابراین حالت‌های ممکن به شرح زیر است:
1. 6 سکه 50 ریالی و 0 سکه 100 ریالی
2. 4 سکه 50 ریالی و 1 سکه 100 ریالی
3. 2 سکه 50 ریالی و 2 سکه 100 ریالی
4. 0 سکه 50 ریالی و 3 سکه 100 ریالی
بنابراین، فاطمه می‌تواند 4 حالت مختلف برای خرید مداد 300 ریالی داشته باشد.
پاسخ نهایی: 4 حالت.
