ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز زاویه قرار دارد از دو ضلع آن به یک فاصله است. [شکل: مثلث ABC که در آن نیمساز زاویه A رسم شده و نقطه M روی آن قرار دارد]

نشان دهید هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله است. [شکل: پاره خط AB و عمود منصف آن که نقطه P روی آن قرار دارد و H محل برخورد بر پاره خط است]

در شکل مقابل مثلث $ABC$ متساوی الساقین است و $M$ و $N$ روی قاعده $BC$ طوری قرار دارند که $BM=NC$. نشان دهید مثلث $AMN$ هم متساوی الساقین است. [شکل: مثلث متساوی الساقین ABC با قاعده BC و نقاط M و N روی قاعده به گونه‌ای که پاره‌خط‌های AM و AN رسم شده‌اند]

در شکل مقابل $ABCD$ متوازی الاضلاع است و $M$ و $N$ و $P$ و $Q$ وسط های اضلاع متوازی الاضلاع اند. ثابت کنید: $MN=PQ$ [شکل: متوازی‌الاضلاع ABCD با چهار نقطه M روی AB، N روی BC، P روی CD و Q روی AD که به هم متصل شده‌اند]

ثابت کنید قطرهای هر متوازی الاضلاع یکدیگر را نصف می کنند. [شکل: متوازی‌الاضلاع ABCD با قطرهای AC و BD که در نقطه O یکدیگر را قطع کرده‌اند]