برای اثبات تشابه دو مثلث در این شکل، باید نشان دهیم که نسبت اضلاع متناظر آنها یکسان است.
فرض کنیم مثلث بزرگتر \( \triangle ABC \) و مثلث کوچکتر \( \triangle DEF \) باشد.
نسبت اضلاع متناظر:
\[
\frac{BC}{EF} = \frac{10}{5} = 2
\]
\[
\frac{AC}{DF} = \frac{12}{6} = 2
\]
\[
\frac{AB}{DE} = \frac{8}{4} = 2
\]
هر سه نسبت برابر ۲ است، پس مثلث‌ها متشابه‌اند.
نسبت محیط‌ها همان نسبت اضلاع متشابه است، بنابراین نسبت محیط‌ها نیز ۲ خواهد بود.
نسبت مساحت‌ها برابر است با مربع نسبت اضلاع:
\[
(2)^2 = 4
\]
بنابراین، نسبت ارتفاع‌ها که با نسبت اضلاع برابر است، برابر ۲ خواهد بود.
نتیجه‌گیری:
- نسبت محیط‌ها: ۲
- نسبت مساحت‌ها: ۴
- نسبت ارتفاع‌ها: ۲
