می‌دانیم که از یک نقطه خارج از یک خط فقط یک خط به موازات آن می‌توان رسم کرد حال با برهان خلف ثابت کنید خطی که از یکی از دو خط موازی را قطع کند دیگری را نیز قطع می‌کند؟

برای اثبات این قضیه از برهان خلف استفاده می‌کنیم. فرض کنید دو خط موازی \( l_1 \) و \( l_2 \) داریم و خطی به نام \( l_3 \) که این دو خط را قطع می‌کند. با فرض اینکه خط \( l_3 \) تنها یکی از این دو خط را قطع کند و هیچ تماسی با خط دیگر نداشته باشد، می‌توانیم بگوییم که: - فرض کنیم \( l_3 \) خط \( l_1 \) را قطع کند ولی خط \( l_2 \) را قطع نکند. از آنجایی که \( l_1 \) و \( l_2 \) موازی‌اند و هیچ نقطه تلاقی‌ای بین آن‌ها وجود ندارد، زمانی که خط \( l_3 \) از خط \( l_1 \) می‌گذرد، به دلیل خواص هندسی، باید با خط \( l_2 \) نیز به طور منظم عمل کند. از نظر هندسه، اگر \( l_3 \) از خط \( l_1 \) بگذرد، باید به گونه‌ای رفتار کند که بر خطوط دیگر هم تأثیر بگذارد. اما بر فرض ما، خط \( l_2 \) هیچ تماسی با \( l_3 \) ندارد. این قضیه به تنهایی تناقضی با طبیعت هندسه‌یEuclidean ایجاد می‌کند، زیرا نشان می‌دهد که نمی‌توان خطی وجود داشته باشد که یکی از دو خط موازی را قطع کند، اما خط دیگری را قطع نکند. در نتیجه بر اساس برهان خلف، باید نتیجه بگیریم که اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، باید خط دیگر را نیز قطع کند. پس نتیجه می‌گیریم که اگر خطی از یکی از دو خط موازی \( l_1 \) و \( l_2 \) عبور کند، خط دیگر نیز باید قطع شود.