پاسخ کامل به سوالات موجود در تصویر (Screenshot_۲۰۲۶-۱۱-۰۶-۱۴-۲۶-۰۱-۴۰۲_ir.paadars.Porseman.jpg) به شرح زیر است:
پاسخ سوال ۱:
* الف) شمارنده‌های عدد ۳۶: ۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۹, ۱۲, ۱۸, ۳۶
* ب) مضرب‌های طبیعی عدد ۱۴: ۱۴, ۲۸, ۴۲, ۵۶ و ...
* ج) شانزدهمین مضرب ۷: ۱۱۲ (16 /times 7 = 112)
پاسخ سوال ۲:
تجزیه اعداد ۴۸ و ۱۲۰ به روش درختی (شما باید آن را به شکل شاخه‌ای رسم کنید):
* ۴۸ = ۲ × ۲۴ = ۲ × ۲ × ۱۲ = ۲ × ۲ × ۲ × ۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۳ = 2^4 /times 3
* ۱۲۰ = ۱۰ × ۱۲ = (۲ × ۵) × (۳ × ۴) = ۲ × ۵ × ۳ × ۲ × ۲ = 2^3 /times 3 /times 5
پاسخ سوال ۳:
اعدادی که شمارنده‌های اول آن‌ها فقط ۲ و ۷ باشد، به فرم 2^m /times 7^n هستند. چهار نمونه:
* 2^1 /times 7^1 = ۱۴
* 2^2 /times 7^1 = ۲۸
* 2^3 /times 7^1 = ۵۶
* 2^1 /times 7^2 = ۹۸
پاسخ سوال ۴:
برای تشخیص اینکه عدد ۲۵۳ اول است یا مرکب، باید آن را بر اعداد اولِ کوچکتر یا مساوی جذر آن (جذر ۲۵۳ تقریباً ۱۵.۸ است) تقسیم کنیم. این اعداد اول عبارتند از: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و ۱۳.
بنابراین حداکثر با ۶ بار تقسیم می‌توان فهمید. (در پنجمین تقسیم متوجه می‌شویم که ۲۵۳ بر ۱۱ بخش‌پذیر است و عددی مرکب می‌باشد).
پاسخ سوال ۵:
در روش غربال، ابتدا مضارب ۲، سپس مضارب ۳، ۵ و ۷ خط می‌خورند. ترتیب خط خوردن این اعداد به شرح زیر است:
۱. مضارب ۲ (از کوچک به بزرگ): ۲۴ و سپس ۱۲۰
۲. مضارب ۳: ۵۱ و سپس ۷۵
۳. مضارب ۵: ۲۵
۴. مضارب ۷: ۴۹، سپس ۷۷ و در نهایت ۹۱
ترتیب نهایی از چپ به راست: ۲۴، ۱۲۰، ۵۱، ۷۵، ۲۵، ۴۹، ۷۷، ۹۱
پاسخ سوال ۶:
* الف) دو عدد مرکب متباین (نسبت به هم اول): مثلاً ۸ و ۹ (هیچ مقسوم‌علیه اول مشترکی ندارند).
* ب) یک عدد اول و یک عدد مرکب متباین: مثلاً ۳ و ۱۰.
* ج) برای تساوی (6, /bigcirc) = 1: باید اعدادی را قرار دهید که بر ۲ و ۳ بخش‌پذیر نباشند. دو پاسخ مختلف: ۵ و ۷.
پاسخ سوال ۷:
* اگر a بر b بخش‌پذیر باشد، ک.م.م آن‌ها برابر با عدد بزرگتر یعنی a است: [a, b] = a
* اگر b بر c بخش‌پذیر باشد، [b, c] = b خواهد بود. پس عبارت (a, [b, c]) تبدیل میشود به (a, b). چون a بر b بخش‌پذیر است، ب.م.م آن‌ها برابر با عدد کوچکتر یعنی b است: (a, [b, c]) = b
پاسخ سوال ۸:
* الف) اعداد اول به ترتیب: ۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷. پنجمین عدد ۱۱ و هفتمین عدد ۱۷ است. اختلاف آن‌ها: 17 - 11 = ۶
* ب) بر اساس صورت سوال: 4 /times (p_1 + p_2) = 172 که نتیجه می‌دهد p_1 + p_2 = 43. چون جمع دو عدد اول فرد (۴۳) شده است، حتماً یکی از آن‌ها زوج (یعنی عدد ۲) است. عدد دیگر 43 - 2 = 41 است. پس آن دو عدد ۲ و ۴۱ هستند.
پاسخ سوال ۹:
تجزیه عدد ۲۱۰ برابر است با 2 /times 3 /times 5 /times 7. چون این عدد مضرب ۴ عدد اولِ متفاوت است، در صورتی که در روش غربال مضارب خط خورده را مجدداً خط بزنیم، این عدد ۴ بار (یک‌بار در مضارب ۲، یک‌بار در مضارب ۳، یک‌بار در ۵ و یک‌بار در ۷) خط میخورد.
پاسخ سوال ۱۰:
در غربال ۱ تا ۱۳۰، روند خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع (توان دوم) آن کوچکتر یا مساوی ۱۳۰ باشد. مربع ۱۱ برابر ۱۲۱ و مربع ۱۳ برابر ۱۶۹ است. بنابراین مضارب عدد اول ۱۳ و اعداد اول بزرگتر از آن (مانند ۱۷، ۱۹ و ...) را خط نمی‌زنیم.
پاسخ سوال ۱۱:
عدد ۵۷ برابر است با 3 /times 19. شما باید ۴ عدد بنویسید که عامل اول ۳ و ۱۹ را در تجزیه خود نداشته باشند (بر ۳ و ۱۹ بخش‌پذیر نباشند). مثال: ۲، ۴، ۵، ۷.
پاسخ سوال ۱۲:
* الف) در مجموعه A:
* اعداد اول: ۳۷، ۱۷، ۴۷
* اعداد مرکب: ۵۱ (مضرب ۳)، ۹۱ (مضرب ۷)، ۱۲۱ (مضرب ۱۱)، ۶۳ (مضرب ۳)
* ب) غربال ۷۰ تا ۹۰:
* خط خوردن مضارب ۲: ۷۰, ۷۲, ۷۴, ۷۶, ۷۸, ۸۰, ۸۲, ۸۴, ۸۶, ۸۸, ۹۰
* خط خوردن مضارب ۳ (آنهایی که باقی مانده‌اند): ۷۵, ۸۱, ۸۷
* خط خوردن مضارب ۵ (آنهایی که باقی مانده‌اند): ۸۵
* خط خوردن مضارب ۷ (آنهایی که باقی مانده‌اند): ۷۷
* اعداد باقی‌مانده (اول): ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹
