برای حل این مسئله باید نشان دهیم که مثلثهای \( \triangle AMC \) و \( \triangle AMB \) باهم مشابه هستند و سپس اثبات کنیم که \( AM \) ارتفاع مثلث \( \triangle ABC \) را بر روی ضلع \( BC \) تشکیل میدهد. برای این کار مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **ارتفاع بودن \( AM \):**
چون \( AM \) ارتفاع مثلث \( \triangle ABC \) است، زاویهی \( \hat{AMB} \) و \( \hat{AMC} \) زاویههای قائمه هستند. یعنی:
\[
\hat{AMB} = \hat{AMC} = 90^\circ
\]
2. **مشابهت مثلثها:**
با توجه به زاویههای قائمه، برای مشابه بودن سهزاویه به استدلال زیر نیاز داریم:
الف) زاویهی مشترک \( \hat{A} \) بین دو مثلث قرار دارد.
ب) زاویهی \( \hat{AMB} = \hat{AMC} = 90^\circ \).
با این دو شرط، نتیجه میشود که دو مثلث \( \triangle AMC \) و \( \triangle AMB \) مشابه هستند (به کمک حالت AA).
3. **نتیجه:**
از آنجا که \( AM \) ارتفاع مثلث \( \triangle ABC \) است و زاویههای قائمه داریم، این خط عمود بر \( BC \) است و بنابراین:
\[
AM \perp BC
\]
در نتیجه اثبات شد که \( AM \) ارتفاع است و مثلثها مشابه هستند.
