برای حل این سوال، ابتدا باید بدانیم که عبارت \( A \cup B' \subseteq A \cap B \) به معنی این است که هر عنصری که در \( A \cup B' \) است، باید در \( A \cap B \) نیز باشد.
گزینه‌های ارائه شده را بررسی می‌کنیم:
1. \( B = U \): در این حالت، \( B' = \emptyset \) و بنابراین \( A \cup B' = A \). از طرفی، \( A \cap B = A \)، که رابطه برقرار است. بنابراین، این گزینه قابل قبول است.
2. \( A = U \): در این حالت، \( A \cup B' = U \). اما \( A \cap B \) نمی‌تواند برابر با \( U \) باشد مگر اینکه \( B = U \)، که نمی‌تواند همیشه درست باشد. بنابراین، این گزینه نادرست است.
3. \( B = A \): در این حالت، \( B' = A' \) و \( A \cup B' = A \cup A' = U \). اما \( A \cap B = A \)، که نابرابر با \( U \) است. بنابراین، این گزینه نادرست است.
4. \( A = \emptyset \): در این حالت، \( A \cup B' = B' \). برای اینکه این رابطه برقرار باشد، باید \( B' \subseteq \emptyset \) باشد، که تنها زمانی ممکن است که \( B = U \). بنابراین، این گزینه نمی‌تواند همیشه درست باشد.
بنابراین، تنها گزینه صحیح و همواره برقرار، گزینه 1 است: \( B = U \).
