برای حل این مسئله از رابطه‌ی مربوط به نیمه‌عمر استفاده می‌کنیم.
نیمه‌عمر یک ماده‌ی رادیواکتیو زمانی است که نیمی از مقداری اولیه‌ی آن ماده تجزیه یا تبدیل به ماده‌ی دیگری شود. با استفاده از فرمول مربوط به نیمه‌عمر، می‌خواهیم جرم باقی‌مانده پس از یک دوره‌ی زمانی مشخص را محاسبه کنیم.
فرمول نیمه‌عمر به شکل زیر است:
\[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}} \]
در این فرمول:
- \( N \) جرم باقی‌مانده (که می‌خواهیم پیدا کنیم).
- \( N_0 \) جرم اولیه است (128 میلی‌گرم).
- \( t \) زمان سپری شده است (300 سال).
- \( t_{1/2} \) نیمه‌عمر ماده است (3 سال).
حالا با جای‌گذاری مقادیر در فرمول:
\[ N = 128 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{300}{3}} \]
\[ N = 128 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \]
محاسبه‌ی دقیق:
از آنجا که \(\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\) عدد بسیار کوچکی می‌شود، به راحتی می‌توان گفت \( N \) به عددی بسیار نزدیک به صفر میل می‌کند، یعنی ماده تقریباً به طور کامل تجزیه شده است و چیزی باقی نخواهد ماند.
