برای حل این مسئله، باید به دنبال الگوی تکراری در داخل رادیکال‌ها بگردیم.
عبارتی داده شده به صورت زیر است:
\[
\sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt{3 + \ldots}}}
\]
فرض کنیم مقدار این عبارت برابر \(x\) باشد:
\[
x = \sqrt{3 + x}
\]
با به توان دو رساندن طرفین، خواهیم داشت:
\[
x^2 = 3 + x
\]
این معادله به شکل زیر قابل بازنویسی است:
\[
x^2 - x - 3 = 0
\]
با استفاده از فرمول کلی حل معادله درجه دوم \((ax^2 + bx + c = 0)\):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در معادله ما \(a = 1\)، \(b = -1\) و \(c = -3\) می‌باشند. بنابراین:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-3)}}{2 \times 1}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
چون \(x\) باید مثبت باشد:
\[
x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}
\]
بنابراین، مقدار نهایی عبارت انتخابی برابر با 3 است. پس گزینه صحیح \(3\) می‌باشد.
