برای بررسی جملات داده شده و تعیین درستی یا نادرستی آنها:
(الف) خط \( y = 3 - \frac{3}{2}x \) با جهت مثبت محور طولها زاویه \(\alpha\) میسازد، آنگاه \(\cot \alpha = -\frac{2}{3}\) است.
- معادله خط به صورت \( y = mx + c \) است که شیب \( m = -\frac{3}{2} \) میباشد. طبق رابطه \(\cot \alpha = m\)، بنابراین \(\cot \alpha = -\frac{3}{2}\) بوده و گفته شده \(\cot \alpha = -\frac{2}{3}\) نادرست است.
(ب) اگر \(\sin \alpha > \cos \alpha\)، و \(\sin \alpha \times \cos \alpha < 0\) باشد، آنگاه زاویه \(\alpha\) در ناحیه دوم قرار دارد.
- در ناحیه دوم \(\sin \alpha > 0\) و \(\cos \alpha < 0\) است. حال طرفین نامساوی \(\sin \alpha \times \cos \alpha < 0\) تطابق دارد، بنابراین جمله درست است.
(پ) خط \( y = 2 - \sqrt{3}x \) با جهت مثبت محور طولها زاویهی \(30\) درجه میسازد.
- شیب خط برابر \(-\sqrt{3}\) است که با \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) متفاوت است. بنابراین جمله نادرست است.
(ت) در ناحیه چهارم دایره مثلثاتی، هر چه زاویه بزرگتر باشد، کسینوس آن کمتر است.
- در ناحیه چهارم زاویه بین \(270^\circ\) تا \(360^\circ\) تغییر میکند و \( \cos \alpha \) از 0 به 1 افزایش مییابد. بنابراین جمله نادرست است.
(ث) در صورتی که \(135^\circ < \alpha < 180^\circ\) باشد، \(\tan \alpha > \cot \alpha\) است.
- در این بازه، \(\tan \alpha \) منفی و \(\cot \alpha\) نیز منفی است. چون در ناحیه دوم \(\tan\) و \(\cot\) هردو منفیاند، بنابراین \(\tan \alpha > \cot \alpha\) همواره صادق نیست. بنابراین جمله نادرست است.
(ج) اگر \(\sin \theta = \frac{1}{5}\)، می توان گفت که \(\theta\) در ربع اول یا دوم دایره مثلثاتی قرار دارد.
- چون \(\sin \theta\) مثبت است، \(\theta\) میتواند در ربع اول یا دوم باشد. بنابراین جمله درست است.
