برای حل این سوال، باید دنباله حسابی داده شده را بررسی کنیم. دنباله حسابی حالتی است که در آن اختلاف بین هر دو جمله متوالی ثابت است.
دنبالهای به شکل:
\[ y, x, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3} \]
برای اینکه این دنباله حسابی باشد، باید اختلاف بین دو جمله اول با اختلاف بین سایر جملات یکسان باشد.
اختلاف بین جملات اول و دوم:
\[ x - y \]
اختلاف بین جملات دوم و سوم:
\[ (2 + \sqrt{3}) - x \]
اختلاف بین جملات سوم و چهارم:
\[ (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \]
برای اینکه دنباله حسابی باشد، اختلافات باید برابر باشند، بنابراین:
۱. \( x - y = (2 + \sqrt{3}) - x \)
۲. \((2 + \sqrt{3}) - x = -2\sqrt{3}\)
از معادلات بالا، معادله دوم را حل میکنیم:
\[ 2 + \sqrt{3} - x = -2\sqrt{3} \]
\[ x = 2 + \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \]
\[ x = 2 + 3\sqrt{3} \]
اکنون مقدار \( x \) را که به دست آوردهایم میتوانیم در هر معادلهٔ دلخواه برای بررسی مقدار \( y \) استفاده کنیم. به این صورت که:
\[ x - y = (2 + \sqrt{3}) - x \]
\[ 2 + 3\sqrt{3} - y = 2 + \sqrt{3} - 2 - 3\sqrt{3} \]
\[ 2 + 3\sqrt{3} - y = -2\sqrt{3} \]
\[ y = 2 + 5\sqrt{3} \]
با استفاده از دنباله و اصول دنبالههای حسابی، مقادیر \( x \) و \( y \) را به دست آوردیم:
\[ x = 2 + 3\sqrt{3} \]
\[ y = 2 + 5\sqrt{3} \]
