برای این‌که معادله \( (x^3 - 1)^2 - mx^2 + 1 - m = 0 \) دارای چهار ریشه متمایز باشد، باید این معادله به درجه 4 تبدیل شود و ضرایب آن به گونه‌ای انتخاب شوند که تعداد ریشه‌های متمایز را تأمین کنند.
معادله \((x^3 - 1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1\) است. بنابراین، معادله به صورت زیر در می‌آید:
\[
x^6 - 2x^3 + 1 - mx^2 + 1 - m = 0
\]
یا:
\[
x^6 - 2x^3 - mx^2 + 2 - m = 0
\]
برای داشتن چهار ریشه متمایز، می‌توان شرایط خاصی روی \( m \) اعمال کرد. در اینجا چون معادله به طور طبیعی دارای 6 ریشه است، باید بررسی شود که کدام مقادیر \( m \) می‌توانند تنها 4 ریشه متمایز ایجاد کنند، مثلاً ممکن است جزء دیگر ریشه‌ها همپوشانی داشته باشند.
به طور نمونه \((x^3 - 1)\) به صورت \((x-1)(x^2 + x + 1)\) فاکتورگیری می‌شود که \(x
