برای محاسبه عبارت جبری \( (1+x)^2 (1-x)^3 \)، ابتدا هر کدام از عبارتها را جداگانه ساده میکنیم و سپس آنها را با هم ترکیب میکنیم.
**گام ۱: محاسبه \( (1+x)^2 \)**
\[
(1+x)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 + 2x + x^2
\]
**گام ۲: محاسبه \( (1-x)^3 \)**
برای محاسبه این عبارت از فرمول دو جملهای استفاده میکنیم:
\[
(1-x)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x^2 - x^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
\]
**گام ۳: ترکیب دو عبارت**
حالا این دو را با هم ترکیب میکنیم:
\[
(1 + 2x + x^2)(1 - 3x + 3x^2 - x^3)
\]
برای محاسبه این ضرب، این عبارات را با هم توزیع می کنیم:
1. \( 1 \cdot (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 \)
2. \( 2x \cdot (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = 2x - 6x^2 + 6x^3 - 2x^4 \)
3. \( x^2 \cdot (1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5 \)
حالا همه اینها را جمع میکنیم:
\[
1 - 3x + 3x^2 - x^3 + 2x - 6x^2 + 6x^3 - 2x^4 + x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5
\]
گام بعدی جمع کردن همه ترمهای مشابه است:
- ترمهای ثابت: \( 1 \)
- درایههای \( x \): \( -3x + 2x = -x \)
- درایههای \( x^2 \): \( 3x^2 - 6x^2 + x^2 = -2x^2 \)
- درایههای \( x^3 \): \( -x^3 + 6x^3 - 3x^3 = 2x^3 \)
- درایههای \( x^4 \): \( -2x^4 + 3x^4 = x^4 \)
- درایههای \( x^5 \): \( -x^5 \)
سرانجام، نتیجه نهایی عبارت جبری به صورت زیر است:
\[
1 - x - 2x^2 + 2x^3 + x^4 - x^5
\]
بنابراین، جواب نهایی عبارت جبری \( (1+x)^2 (1-x)^3 \) به صورت زیر است:
\[
1 - x - 2x^2 + 2x^3 + x^4 - x^5
\]
