برای حل این مسئله، ابتدا باید بدانیم که لوزی شکل هندسیای است که چهار ضلع آن برابر هستند و دو قطر دارد که همدیگر را عموداً نصف میکنند.
طبق سوال، مساحت لوزی کوچکتر \( M \) و محیط هر دو لوزی \( 16 \) است. محیط یک لوزی که هر چهار ضلع آن برابرند، برابر است با:
\[ P = 4a \]
با توجه به اینکه محیط \( 16 \) است:
\[ 4a = 16 \]
\[ a = 4 \]
حال، اگر \( a = 4 \) باشد، باید مساحت لوزی کوچکتر که \( M \) است را بدست آوریم. فرمول مساحت لوزی به صورت زیر است:
\[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]
از طرفی طول قطرهای لوزی میتواند از قضیه فیثاغورث در هر یک از مثلثهای قائم که تشکیل دهنده لوزی هستند بدست آید:
به ازای هر لوزی یک زاویه \( \theta \) داریم و میدانیم که مجموع دو لوزی برابر است:
\[ \angle_{\text{کدر}1} + \angle_{\text{کدر}2} = 180 درجه \]
حال به ازای زاویهای مثل \( 60 \) بین اضلاع لوزیها، میتوان طبق قضیه پیتاگوراس و همچنین با داشتن محیط و دانستن وجود زوایای مساوی استفاده کرد. به طور مثال با \( \angle_{\text{کدر}1} = 60 \) داریم:
\[ d_1 = 4 \cdot \sin{60} \]
\[ d_2 = 4 \cdot \sin{30} \]
مساحت لوزی کوچکتر \( M = \frac{d_1 \times d_2}{2} \) که میتوان اعداد دقیقی که حاصل میشوند را در برگرفته و چک کرد که مقدار کمتر از عدد بزرگتر است. اگر قرار باشد تا بر پایه تقارن بررسی کرد میتوان بر اساس همین زوایا و مقادیر مورد انتظار در سوال به پیش رفت.
در نهایت، بسته به تحلیل دقیق زوایا دقیقترین نتایج حاصل خواهد شد.
