عبارت الف) \(\frac{x^3 - 1}{(x-1)^3}\)
برای سادهسازی کسر، ابتدا صورت عبارت را فاکتورگیری میکنیم. عبارت \(x^3 - 1\) به صورت اختلاف مکعبها میتواند تجزیه شود:
\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]
پس داریم:
\[ \frac{x^3 - 1}{(x-1)^3} = \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)^3} \]
با حذف \(x-1\) مشترک از صورت و مخرج:
\[ \frac{x^2 + x + 1}{(x-1)^2} \]
عبارت ب) \(\frac{p^5 - p^3 - 12p}{8p^3 + 16p}\)
ابتدا صورت و مخرج عبارت را فاکتورگیری میکنیم.
صورت:
\[ p^5 - p^3 - 12p = p(p^4 - p^2 - 12) = p(p^2 - 4)(p^2 + 3) \]
عبارت \(p^2 - 4\) به صورت تفاوت مجذورها نیز قابل تجزیه است:
\[ (p - 2)(p +
