مثلث $ABC$ متساوی‌الساقین است. $AM$ نیمساز زاویه $A$ است. نشان دهید $AM$ میانه است. با کامل کردن جاهای خالی بگویید دو مثلث $ABM$ و $ACM$ به چه حالتی هم‌نهشت هستند؟ $AB = \dots$ $\hat{A}_1 = \hat{A}_2 \implies \triangle ABM \cong \triangle ACM$ $AM = AM$ بنا به حالت $\dots$ [شکل: مثلث متساوی‌الساقین ABC با نیمساز AM]

در شکل مقابل $O$ مرکز دایره و $AD$ و $BC$ بر دایره مماس‌اند. ثابت کنید دو مثلث $OAD$ و $OBC$ هم‌نهشت‌اند. [شکل: دایره به مرکز O، خطوط مماس AD و BC]

نشان دهید در هر مثلث متساوی‌الساقین فاصله هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه رأس از دو سر قاعده برابر است. یعنی $MB = MC$. [شکل: مثلث متساوی‌الساقین ABC و نیمساز زاویه A که نقطه M روی آن قرار دارد]

چهارضلعی $ABCD$ متوازی‌الاضلاع است. ثابت کنید ارتفاع‌های $AM$ و $CN$ برابرند. [شکل: متوازی‌الاضلاع ABCD با ارتفاع‌های AM و CN]

می‌خواهیم ثابت کنیم که در هر متوازی‌الاضلاع، ضلع‌های مقابل همواره با هم مساوی‌اند. جریان اثبات را کامل کنید. $\begin{cases} AB \parallel CD, BD \text{ مورب} \implies \hat{B}_2 = \hat{D}_1 \\ AD \parallel BC, BD \text{ مورب} \implies \hat{D}_2 = \hat{B}_1 \\ BD = BD \text{ ضلع مشترک} \end{cases} \implies \triangle ABD \cong \triangle BCD \implies \begin{cases} AB = CD \\ AD = BC \end{cases}$ [شکل: متوازی‌الاضلاع ABCD با قطر BD]

در شکل روبرو $AB$ قطر نیم‌دایره است و $O$ وسط $AB$ است. ثابت کنید: $AC = BD$ (نوشتن فرض و حکم الزامی است). [شکل: نیم‌دایره به قطر AB و مرکز O، مثلث‌های OAC و OBD در داخل نیم‌دایره]