تعداد شمارنده های طبیعی عدد ۱۵۰ را بدست آورید چند تا از این شمارنده ها اول و چند تا از آنها مرکب می باشد

برای یافتن تعداد شمارنده‌های طبیعی عدد ۱۵۰، ابتدا باید تجزیه اولی آن را پیدا کنیم. عدد ۱۵۰ را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد: \[ 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \] حالا از فرمولی که برای تعداد شمارنده‌های یک عدد به کار می‌رود استفاده می‌کنیم. اگر یک عدد به صورت \( p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times ... \times p_n^{k_n} \) تجزیه شود، تعداد شمارنده‌های آن عدد برابر است با: \[ (k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times ... \times (k_n + 1) \] با توجه به تجزیه فوق: - \( k_1 = 1 \) (برای عدد ۲) - \( k_2 = 1 \) (برای عدد ۳) - \( k_3 = 2 \) (برای عدد ۵) حال تعداد شمارنده‌ها را حساب می‌کنیم: \[ (1 + 1) \times (1 + 1) \times (2 + 1) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \] بنابراین، تعداد شمارنده‌های طبیعی عدد ۱۵۰ برابر با ۱۲ است. **حالا بیایید شمارنده‌ها را بررسی کنیم که ببینیم چندتا از آنها اول و چندتا از آنها مرکب هستند:** شمارنده‌های عدد ۱۵۰ عبارتند از: 1. ۱ 2. ۲ 3. ۳ 4. ۵ 5. ۶ (۲×۳) 6. ۱۰ (۲×۵) 7. ۱۵ (۳×۵) 8. ۳۰ (۲×۳×۵) 9. ۵۰ (۲×۵²) 10. ۷۵ (۳×۵²) 11. ۱۵۰ (۲×۳×۵²) اکنون بررسی می کنیم که کدام یک از این شمارنده‌ها اول هستند: شمارنده‌های اول: ۱ (اصلاً اول نیست)، ۲، ۳، ۵ تعداد شمارنده‌های اول: ۳ پس شمارنده‌های مرکب: \( 12 - 3 = 9 \) نتیجه‌گیری: - تعداد شمارنده‌های طبیعی عدد ۱۵۰: ۱۲ - تعداد شمارنده‌های اول: ۳ (۲، ۳، ۵) - تعداد شمارنده‌های مرکب: ۹