### مسئله مربوط به کاشی‌کاری مستطیل ۲۰ در ۷۵ سانتی‌متر برای اینکه بتوانیم یک سطح مستطیل شکل به ابعاد ۲۰ و ۷۵ سانتی‌متر را با کاشی‌های مربع شکل هم‌اندازه و بدون برش (بطوری که اضلاع کاشی‌ها عددی صحیح باشد) بپوشانیم، طول ضلع کاشی باید هم بر ۲۰ و هم بر ۷۵ بخش‌پذیر باشد. یعنی طول ضلع کاشی باید یکی از مقسوم‌علیه‌های مشترک ۲۰ و ۷۵ باشد. **الف) اندازه‌های ممکن برای ضلع کاشی‌ها:** ابتدا مقسوم‌علیه‌های هر عدد را پیدا می‌کنیم: * **مقسوم‌علیه‌های ۲۰:** ۱، ۲، ۴، ۵، ۱۰، ۲۰ * **مقسوم‌علیه‌های ۷۵:** ۱، ۳، ۵، ۱۵، ۲۵، ۷۵ **مقسوم‌علیه‌های مشترک ۲۰ و ۷۵** اعدادی هستند که در هر دو لیست وجود دارند: **۱ و ۵**. **پاسخ الف:** اندازه‌های ضلع کاشی‌ها می‌تواند **۱ سانتی‌متر** یا **۵ سانتی‌متر** باشد. **ب) اندازه بزرگ‌ترین نوع کاشی:** بزرگ‌ترین عددی که هم بر ۲۰ و هم بر ۷۵ بخش‌پذیر است، همان **ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک)** دو عدد است. ب.م.م (۲۰، ۷۵) = **۵** **پاسخ ب:** اندازه ضلع بزرگ‌ترین نوع کاشی **۵ سانتی‌متر** است. **ج) تعداد کاشی‌های مورد نیاز با بزرگ‌ترین اندازه:** اگر از کاشی با ضلع ۵ سانتی‌متر استفاده کنیم: 1. تعداد کاشی‌های مورد نیاز در طول ۲۰ سانتی‌متر: $/frac{20}{5} = 4$ کاشی 2. تعداد کاشی‌های مورد نیاز در طول ۷۵ سانتی‌متر: $/frac{75}{5} = 15$ کاشی تعداد کل کاشی‌ها برابر است با حاصل ضرب تعداد کاشی‌ها در طول در عرض: تعداد کل = $4 /times 15 = 60$ کاشی **پاسخ ج:** **۶۰** عدد از این کاشی‌ها نیاز داریم. --- ### مسئله ۳۷: پوشاندن مستطیل ۳۰ در ۲۴ سانتی‌متر با صفحات مربع شکل در اینجا هدف این است که با استفاده از صفحات مربع شکل هم‌اندازه، سطح مستطیل ۳۰ در ۲۴ را بپوشانیم. طول ضلع این مربع‌ها باید مقسوم‌علیه هر دو عدد باشد. **الف) حداکثر تعداد صفحات مربع شکل:** برای اینکه **حداکثر تعداد** صفحه را داشته باشیم، باید اندازه ضلع هر صفحه **کوچک‌ترین** مقدار ممکن باشد. کوچک‌ترین ضلع صحیحی که هم بر ۳۰ و هم بر ۲۴ بخش‌پذیر است، عدد **۱** است (زیرا ۱ مقسوم‌علیه تمام اعداد صحیح است). اگر ضلع مربع‌ها ۱ سانتی‌متر باشد: * تعداد در طول ۳۰: $/frac{30}{1} = 30$ * تعداد در عرض ۲۴: $/frac{24}{1} = 24$ * حداکثر تعداد کل: $30 /times 24 = 720$ صفحه **پاسخ الف:** حداکثر **۷۲۰** صفحه مربع شکل نیاز داریم (با ضلع ۱ سانتی‌متر). **ب) حداقل تعداد صفحات مربع شکل:** برای اینکه **حداقل تعداد** صفحه را داشته باشیم، باید اندازه ضلع هر صفحه **بزرگ‌ترین** مقدار ممکن باشد. بزرگ‌ترین اندازه ضلع، همان **ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک)** ۳۰ و ۲۴ است. * مقسوم‌علیه‌های ۳۰: ۱، ۲، ۳، ۵، **۶**، ۱۰، ۱۵، ۳۰ * مقسوم‌علیه‌های ۲۴: ۱، ۲، ۳، ۴، **۶**, ۸، ۱۲، ۲۴ ب.م.م (۳۰، ۲۴) = **۶** سانتی‌متر. حالا با ضلع ۶ سانتی‌متر محاسبه می‌کنیم: * تعداد در طول ۳۰: $/frac{30}{6} = 5$ * تعداد در عرض ۲۴: $/frac{24}{6} = 4$ * حداقل تعداد کل: $5 /times 4 = 20$ صفحه **پاسخ ب:** حداقل **۲۰** صفحه مربع شکل نیاز داریم (با ضلع ۶ سانتی‌متر). --- ### مسئله ۳۸: پر کردن کارتن مکعب مستطیل ۳۶، ۶۰ و ۸۴ با جعبه‌های مکعب شکل برای پر کردن کارتن با جعبه‌های مکعب شکل هم‌اندازه، طول ضلع جعبه باید مقسوم‌علیه هر سه بعد کارتن باشد. **الف) حداکثر اندازه ضلع جعبه:** باید **ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک)** اعداد ۳۶، ۶۰ و ۸۴ را پیدا کنیم. روش تجزیه به عوامل اول: * $36 = 2^2 /times 3^2$ * $60 = 2^2 /times 3 /times 5$ * $84 = 2^2 /times 3 /times 7$ ب.م.م از گرفتن کوچک‌ترین توان عوامل مشترک به دست می‌آید: $2^2 /times 3^1 = 4 /times 3 = 12$ **پاسخ الف:** حداکثر اندازه ضلع جعبه‌های مکعب شکل **۱۲ سانتی‌متر** است. **ب) تعداد جعبه‌ها با بزرگ‌ترین ضلع ممکن:** اگر ضلع جعبه ۱۲ باشد: 1. تعداد در بعد ۳۶: $/frac{36}{12} = 3$ جعبه 2. تعداد در بعد ۶۰: $/frac{60}{12} = 5$ جعبه 3. تعداد در بعد ۸۴: $/frac{84}{12} = 7$ جعبه تعداد کل جعبه‌ها: $3 /times 5 /times 7 = 105$ جعبه **پاسخ ب:** **۱۰۵** جعبه مکعب شکل با بزرگ‌ترین ضلع ممکن در این کارتن جا می‌گیرد. --- ### مسئله ۳۹: پر کردن کارتن مکعب مستطیل ۶۰، ۴۵ و ۳۰ با جعبه‌های مکعب شکل یکسان **الف) حداقل تعداد جعبه:** برای حداقل تعداد جعبه، باید اندازه ضلع جعبه‌ها **بزرگ‌ترین** مقدار ممکن باشد، یعنی ب.م.م (۶۰، ۴۵، ۳۰). * $30 = 2 /times 3 /times 5$ * $45 = 3^2 /times 5$ * $60 = 2^2 /times 3 /times 5$ ب.م.م (۶۰، ۴۵، ۳۰) = $3^1 /times 5^1 = 15$ سانتی‌متر. تعداد جعبه‌ها با ضلع ۱۵ سانتی‌متر: * تعداد در بعد ۶۰: $/frac{60}{15} = 4$ * تعداد در بعد ۴۵: $/frac{45}{15} = 3$ * تعداد در بعد ۳۰: $/frac{30}{15} = 2$ * حداقل تعداد کل: $4 /times 3 /times 2 = 24$ جعبه **پاسخ الف:** حداقل **۲۴** جعبه می‌توان در این کارتن قرار داد (با ضلع ۱۵ سانتی‌متر). **ب) حداکثر تعداد جعبه با ضلع بیش از ۲ سانتی‌متر:** ابتدا مقسوم‌علیه‌های مشترک اعداد ۶۰، ۴۵ و ۳۰ را پیدا می‌کنیم (ب.م.م آن‌ها ۱۵ بود، پس مقسوم‌علیه‌های مشترک همان مقسوم‌علیه‌های ۱۵ هستند): * مقسوم‌علیه‌های ۱۵: **۱، ۳، ۵، ۱۵** ما به دنبال حداکثر تعداد جعبه هستیم، پس باید کوچک‌ترین ضلع ممکن را انتخاب کنیم که **بیش از ۲ سانتی‌متر** باشد. کوچک‌ترین ضلع بزرگ‌تر از ۲ در لیست مقسوم‌علیه‌های مشترک، عدد **۳** است. تعداد جعبه‌ها با ضلع ۳ سانتی‌متر: * تعداد در بعد ۶۰: $/frac{60}{3} = 20$ * تعداد در بعد ۴۵: $/frac{45}{3} = 15$ * تعداد در بعد ۳۰: $/frac{30}{3} = 10$ * حداکثر تعداد کل (با ضلع بزرگ‌تر از ۲): $20 /times 15 /times 10 = 3000$ جعبه **پاسخ ب:** حداکثر **۳۰۰۰** جعبه مکعب شکل به ضلع **۳ سانتی‌متر** می‌توان در آن قرار داد.