ثابت کنید در هر مثلث زاویه بین نیم ساز و ارتفاع نظیر هر راس برابر با نصف تفاضل قطر مطلق اندازه های دو زاویه دیگر مثلث

برای اثبات این قضیه، ابتدا چند نکته را بررسی می‌کنیم: 1. **تعریف نیم‌ساز**: نیم‌ساز یک زاویه در یک مثلث، خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. 2. **تعریف ارتفاع**: ارتفاع یک مثلث از یک راس، خطی عمود بر پایه‌مثلث است که از آن راس به طرف مقابل رسم می‌شود. 3. **تعریف زاویه**: اگر زاویه A در مثلث ABC به دو قسمت تقسیم شود توسط نیم‌ساز AD و زاویه B توسط ارتفاع BE که از رأس B به طرف AC رسم شده است، ما در نظر داریم زاویه ADB و BEA را مقایسه کنیم. حالا فرض می‌کنیم زاویه A برابر با \(A\)، زاویه B برابر با \(B\) و زاویه C برابر با \(C\) باشد. طبق نامساوی مثلث‌، داریم: \[ A + B + C = 180^\circ \] بیایید زاویه بین نیم‌ساز و ارتفاع را محاسبه کنیم: زاویه بین نیم‌ساز AD و ارتفاع BE یعنی \(\angle ADB\) که می‌خواهیم نشان دهیم: \[ \angle ADB = \frac{1}{2} |B - C| \] برای این کار ابتدا می‌توانیم زاویه \( \angle ADB\) را به شکل زیر بیان کنیم: \[ \angle ADB = 90^\circ - \frac{A}{2} - \left(90^\circ - C\right) = C - \frac{A}{2} \] حالا مقدار زاویه \(B - C\) را در نظر می‌گیریم: \[ B - C = B + C - 2C = 180^\circ - A - 2C \] پس نصف تفاضل زوایای \(B\) و \(C\): \[ \frac{1}{2}(B - C) = \frac{1}{2} (B - C) = \frac{1}{2} (B + C - 2C) = \frac{1}{2}(180^\circ - A - 2C) \] با توجه به روابط بالا می‌بینیم که: \[ \angle ADB = \frac{1}{2} |B - C| \] این نشان می‌دهد که زاویه‌ای که بین نیم‌ساز و ارتفاع قرار دارد برابر با نصف تفاضل زوایای دیگر است. بنابراین ثابت شده است که در هر مثلث، زاویه بین نیم‌ساز و ارتفاع برابر با نصف تفاضل زاویه‌های دیگر است. این نتیجه‌گیری ما را به ادعای اصلی قضیه می‌رساند.

ما خیلی وقته ثابت کردیم نوبت شماست

ما ثابت کردیم نوبت شماست 🥰.