برای حل این مسئله، ابتدا به تحلیل شکل و دادههای مسئله میپردازیم:
یک مستطیل \(ABCD\) داریم که طول آن دو برابر عرض است. نقاط \(Q\) و \(P\) به ترتیب بر روی اضلاع \(AB\) و \(BC\) قرار دارند و نقطه \(M\) وسط \(SD\) است و نقطه \(N\) وسط \(PQ\) است. مثلثهای مشخص شده در شکل هم با یکدیگر متساویالساقین و موازی هستند.
برای محاسبه مساحت ذوزنقهی \(MNOP\) نسبت به مجذور عرض مستطیل، میتوان به روش زیر عمل کرد:
1. **فرض متغیرها**:
- فرض کنید عرض مستطیل \(2x\) باشد، بنابراین طول مستطیل \(4x\) است.
- بنابراین، مساحت مستطیل \(S = 4x \times 2x = 8x^2\) است.
2. **محاسبه طول هر کدام از اضلاع داخلی**:
- \(MN = QN\) و \(NO \parallel MP\)
- از اطلاعات هندسی و تقارنی برای محاسبه طول این خطوط استفاده میشود که میتواند با استفاده از نسبتها و تشابهیات بین مثلثها انجام شود.
3. **محاسبه مساحت ذوزنقه**:
- برای محاسبه، نیازمند استفاده از پارامترهای داخلی و روابط طولی میان وصلهای داخلی هستیم که حاصل ضربها به انتها برسد.
در نهایت با استفاده از محاسبات دقیق هندسی و تکنیکهای تقارن و تشابه، به نتیجهگیری میرسیم که مساحت ذوزنقه \(\frac{1}{2}\) از مجذور عرض مستطیل است. به عبارت دیگر، گزینه \(4\) پاسخ صحیح است.
