برای اینکه نمودار سهمی \( y = (m-1)x^2 + \sqrt{3}x + m \) همواره بالای محور \( x \)ها باشد، باید این سهمی هیچ ریشهای نداشته باشد و به عبارتی محور تقارن آن پایینتر از حداقل مقدار y باشد.
برای تابع درجه دوم با فرمول کلی \( ax^2 + bx + c \):
1. شرط نداشتن ریشه: \(\Delta < 0\)
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
در اینجا \(a = m-1\)، \(b = \sqrt{3}\)، و \(c = m\)، بنابراین:
\[
\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4(m-1)m < 0
\]
\[
3 - 4(m^2 - m) < 0
\]
\[
3 < 4m^2 - 4m
\]
\[
4m^2 - 4m - 3 > 0
\]
حال باید مقادیر \(m\) را پیدا کنیم که این نامعادله را برآورده میکند.
2. حل نامعادله درجه دو:
اول ریشههای معادله \(4m^2 - 4m - 3 = 0\) را پیدا میکنیم.
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64
\]
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{8}
\]
\[
m_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad m_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}
\]
پس نامعادله \(4m^2 - 4m - 3 > 0\) برای \(m < -\frac{1}{2}\) یا \(m > \frac{3}{2}\) صدق میکند.
بنابراین سهمی برای مقادیر \(m < -\frac{1}{2}\) یا \(m > \frac{3}{2}\) همواره بالای محور \(x\)ها خواهد بود.
