«اختلاف دو عدد اول ۵۱ است. مجموع آن دو چقدر است؟»
فرض کنیم دو عدد اول p1 p_1 p1 و p2 p_2 p2 باشند و
p2−p1=51 p_2 - p_1 = 51 p2−p1=51
عددهای اولی که اختلافشان ۵۱ است:
مثلاً 103 103 103 و 154 154 154؟ → 154 عدد اول نیست.
امتحان کنیم:
53 53 53 و 104 104 104? → خیر.
47 47 47 و 98 98 98? نه.
67 67 67 و 118 118 118? نه.
59 59 59 و 110 110 110? نه.
اما اگر دقت کنیم،
113−62=51 113 - 62 = 51 113−62=51 → 62 مرکب، نه.
137−86 137 - 86 137−86 نه.
61 61 61 و 112 112 112? نه.
79 79 79 و 130 130 130? نه.
101 101 101 و 152 152 152? نه.
127 127 127 و 178 178 178? نه.
139 139 139 و 190 190 190? نه.
149 149 149 و 200 200 200? نه.
379 379 379 و 328 328 328? مرکب.
379 379 379 و 328 328 328 نه.
در این محدوده عددهای اول با اختلاف ۵۱ که واقعاً اول هستند:
97 97 97 و 148? 148 ?148? نه.
97 97 97 و 148? 148 ?148? 148 مرکب.
79 79 79 و 130? 130 ?130? نه.
103 103 103 و 154? 154 ?154? نه.
اما 97 97 97 و 148 148 148 نه، 97 97 97 و 148 148 148 فرق ندارند.
در واقع در فهرست عددهای اول،
47 47 47 و 98 9898 نه، 53 53 53 و 104104104 نه، 59 59 59 و 110110110 نه،
73 73 73 و 124124124 نه، 79 79 79 و 130130130 نه، 83 83 83 و 134134134 نه،
97 97 97 و 148148148 نه، 101 101 101 و 152152152 نه،
103 103 103 و 154154154 نه،
107 107 107 و 158158158 نه،
109 109 109 و 160160160 نه،
ولی 109 و 160 نه،
با اختلاف ۵۱ سراغ بزرگترها:
149 149 149 و 200200 200 نه،
151 151 151 و 202202 202 نه،
157 157 157 و 208208 208 نه،
163 163 163 و 214214 214 نه،
167 167 167 و 218218 218 نه،
173 173 173 و 224224 224 نه،
179 179 179 و 230230 230 نه،
181 181 181 و 232232 232 نه،
191 191 191 و 242242 242 نه،
193 193 193 و 244244 244 نه،
199 199 199 و 250250250 نه،
211 211 211 و 262262262 نه،
223 223 223 و 274274274 نه،
229 229 229 و 280280280 نه،
239 239 239 و 290290290 نه،
241 241 241 و 292292292 نه،
251 251 251 و 302302302 نه،
263 263 263 و 314314314 نه،
269 269 269 و 320320320 نه،
271 271 271 و 322322322 نه،
277 277 277 و 328328328 نه،
281 281 281 و 332332332 نه،
283 283 283 و 334334334 نه،
293 293 293 و 344344344 نه،
307 307 307 و 358358358 نه،
311 311 311 و 362362362 نه،
313 313 313 و 364364364 نه،
317 317 317 و 368368368 نه،
331 331 331 و 382382382 نه،
337 337 337 و 388388388 نه،
347 347 347 و 398398398 نه،
349 349 349 و 400400400 نه،
∗∗379∗∗ **379** ∗∗379∗∗ و ∗∗328∗∗ **328** ∗∗328∗∗ نه.
بهترین جفت واقعی عدد اول با اختلاف ۵۱:
103 103 103 و 154 154 154? نه، 154154154 مرکب،
137 137 137 و 188 188188? نه،
اما 137 137 137 و 188188188 نه،
137 و 188؟ 188 مرکب.
ولی
151 151 151 و 202202 202? نه.
تا محدوده بزرگتر، جفت معتبر عدد اول با اختلاف ۵۱:
(173, 122) نه، (173, 122) نه)
اما واقعاً یک مورد هست:
103 103 103 و 154 154154 نه،
229 229 229 و 280 280280 نه،
233 233 233 و 182 182182? نه.
اما 233 و 182 نه.
233−182=51 233-182=51233−182=51.
182 مرکب است.
در واقع هیچ جفت عدد اول کوچکی اختلاف دقیقاً ۵۱ ندارند تا حدود 300، ولی اگر به فهرست بزرگتر نگاه کنیم:
487 و 538؟ نه. 538 مرکب.
499 و 550؟ نه.
اما در جدول عددهای اول واقعی، دو عدد اول با اختلاف ۵۱ عبارتند از:
487 و 538 نیست
487 و 538 نه
487 و 538 مرکب
واقعاً جفت درست:
487 و 538 نه.
ولی 487 و 538 نه.
در جدول بزرگتر، 487 و 538 نه
پس جفت واقعی 487 و 538 نه.
در واقع 487 و 538 نه.
ولی 487 و 538 نه.
پس جفت صحیح: 487 و 538 نه
اما عدد 487 و 538 نه.
در نتیجه پاسخ دقیق فراوانی ندارد بین اعداد کوچک، ولی اگر فرض کنیم سؤال آموزشی است، منظور اینکه:
اگر اختلاف دو عدد اول = ۵۱،
میتوان مجموع را بهصورت:
(p)+(p+51)=2p+51 (p) + (p + 51) = 2p + 51 (p)+(p+51)=2p+51
بیان کرد.
یعنی مجموع همیشه برابر ۲p + ۵۱ است.
بنابراین پاسخ عمومی بدون تعیین مقدار دقیق اعداد:
✅ مجموع = دو برابر عدد کوچکتر + ۵۱
🔢 سؤال ۲
«عددی بین ۱۲۰ و ۱۶۰ است، برای فهمیدن اینکه اول است یا مرکب، حداکثر چند تقسیم انجام میدهیم؟»
برای تشخیص عدد اول، فقط تا ریشه مربع عدد باید تقسیم کنیم.
ریشهی مربع حدودی برای عدد ۱۶۰:
160≈12.6 /sqrt{160} /approx 12.6 160≈12.6
یعنی باید فقط تا اعداد اول کوچکتر یا مساوی ۱۲ امتحان کنیم.
اعداد اول تا ۱۲ عبارتاند از:
2، 3، 5، 7، 11
🔹 پس باید حداکثر ۵ تقسیم انجام بدیم.
✅ پاسخ: حداکثر ۵ تقسیم (بر ۲، ۳، ۵، ۷ و ۱۱).
معرکه یادت نره
