برای دنباله داده شده در تصویر، از جمله عمومی \( t_n = an^2 + bn + c \) استفاده میکنیم تا ضرایب \( a \)، \( b \)، و \( c \) را پیدا کنیم.
از مقادیر دنباله، داریم:
- \( t_1 = 5 \)
- \( t_2 = 12 \)
- \( t_3 = 22 \)
این معادلات را به دست میآوریم:
1. \( a(1)^2 + b(1) + c = 5 \) یعنی \( a + b + c = 5 \)
2. \( a(2)^2 + b(2) + c = 12 \) یعنی \( 4a + 2b + c = 12 \)
3. \( a(3)^2 + b(3) + c = 22 \) یعنی \( 9a + 3b + c = 22 \)
حالا این دستگاه معادلات را حل میکنیم:
از معادله اول: \( a + b + c = 5 \)
معادله دوم را از اول کم کنید:
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 12 - 5
\]
\[
3a + b = 7 \quad (4)
\]
معادله سوم را از دوم کم کنید:
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 22 - 12
\]
\[
5a + b = 10 \quad (5)
\]
حالا معادلات (4) و (5) را حل میکنیم:
از (5): \( 5a + b = 10 \)
از (4): \( 3a + b = 7 \)
\[
(5a + b) - (3a + b) = 10 - 7
\]
\[
2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}
\]
\( a = \frac{3}{2} \) را در (4) جایگذاری کنیم:
\[
3 \left(\frac{3}{2}\right) + b = 7
\]
\[
\frac{9}{2} + b = 7
\]
\[
b = 7 - \frac{9}{2}
\]
\[
b = \frac{14}{2} - \frac{9}{2} = \frac{5}{2}
\]
اکنون \( a \) و \( b \) را داریم، از معادله اول برای پیدا کردن \( c \) استفاده میکنیم:
\[
a + b + c = 5
\]
\[
\frac{3}{2} + \frac{5}{2} + c = 5
\]
\[
4 + c = 5
\]
\[
c = 1
\]
بنابراین، جمله عمومی دنباله به صورت زیر است:
\[
t_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 1
\]
