برای حل این سوال، ابتدا به توضیحاتی درباره ریشه دوم و مکعب یک عدد میپردازیم.
**الف)** ریشه دوم عدد از خود عدد بزرگتر باشد:
ریشه دوم عدد \( x \) با فرمول \( \sqrt{x} \) محاسبه میشود. ما نیاز داریم که \( \sqrt{x} > x \) باشد.
چند عدد را امتحان میکنیم:
- اگر \( x = 0.25 \) (یا 1/4)، آنگاه \( \sqrt{0.25} = 0.5 \) و \( 0.5 > 0.25 \) است.
به همین ترتیب میتوانیم مشاهده کنیم که برای هر عدد \( x \) که در بازه \( (0, 1) \) باشد، این شرط برقرار است.
پس یک عدد مناسب برای قسمت الف میتواند \( 0.25 \) باشد.
**ب)** مکعب عدد از خود عدد کوچکتر باشد:
مکعب عدد \( x \) با فرمول \( x^3 \) محاسبه میشود. در اینجا، ما نیاز به این داریم که \( x^3 < x \) باشد.
برای حل این نابرابری، دو حالت را بررسی میکنیم:
1. اگر \( x > 1 \): در این صورت واضح است که \( x^3 > x \).
2. اگر \( 0 < x < 1 \): در این حالت نابرابری برقرار است. مثلاً اگر \( x = 0.5 \)، آنگاه \( x^3 = 0.5^3 = 0.125 \) و \( 0.125 < 0.5 \) است.
پس یک عدد مناسب برای قسمت ب میتواند \( 0.5 \) باشد.
در نتیجه پاسخ نهایی به سوال:
الف) \( 0.25 \)
ب) \( 0.5 \)
