برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید درک کنیم که دو بازه [a⁴, a³) و [a², a) به چه صورتند و چطور میتوانیم اشتراک آنها را محاسبه کنیم.
1. **تعریف بازهها**:
- بازه [a⁴, a³) شامل تمامی مقادیری است که بزرگتر یا مساوی a⁴ و کوچکتر از a³ هستند.
- بازه [a², a) شامل تمامی مقادیری است که بزرگتر یا مساوی a² و کوچکتر از a است.
2. **تحلیل شرایط**:
- ما میدانیم که x در بازه (0, 1) است. بنابراین a باید بین 0 و 1 باشد. با توجه به اینکه a مثبت است و در این بازه قرار دارد، مقادیر a²، a³ و a⁴ همگی بین 0 و 1 خواهند بود و به ترتیب:
- a² < a³ < a⁴
3. **محاسبه اشتراک**:
حال بگذارید بازهها را بنویسیم:
- [a⁴, a³) = {x | a⁴ ≤ x < a³}
- [a², a) = {x | a² ≤ x < a}
برای پیدا کردن اشتراک این دو بازه، باید ببینیم عوامل مشترک در این دو بازه چه هستند:
- پایینترین مقدار بین a⁴ و a²:
- اگر a⁴ ≥ a²، ما a² را به عنوان پایینترین مرز اشتراک در نظر میگیریم. در غیر این صورت، a⁴ را در نظر میگیریم.
- بالاترین مقدار بین a³ و a:
- اگر a³ ≥ a، ما a را به عنوان بالاترین مرز اشتراک در نظر میگیریم. در غیر این صورت، a³ را در نظر میگیریم.
4. **نتیجه نهایی**:
با توجه به شرایطی که بررسی کردیم:
- پایینتر از a³ و بزرگتر یا مساوی a² خواهیم داشت.
- بالاتر از a⁴ و کوچکتر از a خواهد بود.
حال:
- اگر a² ≤ a⁴: اشتراک برابر با [a⁴, a³) خواهد بود.
- اگر a⁴ < a²: این امکان وجود ندارد زیرا a⁴ به وضوح کوچکتر از a² است چون a در (0, 1) است.
در نهایت:
اشتراک به صورت زیر خواهد بود:
- اشتراک برابر با [a³, a) خواهد بود، زیرا a³ بزرگتر از a² و کوچکتر از a است.
**حجم اشتراک**:
حجم اشتراک = (a - a³) = a(1 - a²)
بنابراین، اشتراک [a⁴, a³) و [a², a) برابر با [a³, a) است و حجم آن برابر با a(1 - a²) میباشد.
