برای حل سوال "نشان دهید قدر مطلق a برابر است با \(\sqrt{a^2}\)"، باید مفهوم قدر مطلق و ریشه دوم را توضیح دهیم.
مفهوم قدر مطلق:
قدر مطلق عدد \(a\)، که با \(|a|\) نشان داده میشود، برابر است با:
- \(a\) اگر \(a \geq 0\)
- \(-a\) اگر \(a < 0\)
ریشه دوم و مربع:
\(\sqrt{a^2}\) همواره یک مقدار غیرمنفی دارد، زیرا مربع هر عدد (مثبت یا منفی) غیرمنفی است.
تحلیل: برای هر عدد حقیقی \(a\)، داریم:
- \(a^2 \geq 0\)، لذا \(\sqrt{a^2} \geq 0\).
حال، دو حالت داریم:
1. اگر \(a \geq 0\)، آنگاه \(|a| = a\) و همچنین \(\sqrt{a^2} = \sqrt{a \cdot a} = a\).
2. اگر \(a < 0\)، آنگاه \(|a| = -a\) و \(\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a) \cdot (-a)} = -a\).
در هر دو حالت میبینیم که \(|a| = \sqrt{a^2}\).
بنابراین، \(|a| = \sqrt{a^2}\) برای هر عدد حقیقی \(a\) صحیح است.
