از جعبه ای شامل ۹ سیت سالم و ۲ سیب لکه دار ،۴سیب را به طور تصادفی بر میداریم مطلوب است محاسبه احتمال اینکه ۳سیب سالم و یک سیب بلکه دار باشد؟

برای محاسبه احتمال اینکه از ۴ سیبی که به طور تصادفی برمی‌داریم، ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار باشد، می‌توانیم از ترکیب‌ها و قانون احتمال استفاده کنیم. ### مرحله ۱: محاسبه تعداد کل روش‌ها برای انتخاب ۴ سیب تعداد کل سیب‌ها: ۹ + ۲ = 11 تعداد روش‌های انتخاب ۴ سیب از 11 سیب: \[ C(11, 4) = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330 \] ### مرحله ۲: محاسبه تعداد روش‌ها برای انتخاب ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار تعداد روش‌های انتخاب ۳ سیب سالم از ۹ سیب سالم: \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] تعداد روش‌های انتخاب ۱ سیب لکه‌دار از ۲ سیب لکه‌دار: \[ C(2, 1) = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2 \] ### مرحله ۳: محاسبه تعداد روش‌ها برای انتخاب ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار حالا تعداد کل روش‌ها برای انتخاب ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار را محاسبه می‌کنیم: \[ C(9, 3) \times C(2, 1) = 84 \times 2 = 168 \] ### مرحله ۴: محاسبه احتمال حالا می‌توانیم احتمال انتخاب ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار را محاسبه کنیم: \[ P(3 \text{ سالم و } 1 \text{ لکه‌دار}) = \frac{\text{تعداد روش‌های مطلوب}}{\text{تعداد روش‌های کل}} = \frac{168}{330} \] ### مرحله ۵: ساده‌سازی حال می‌توانیم این کسری را ساده کنیم. با استفاده از تقسیم عددی: \[ P(3 \text{ سالم و } 1 \text{ لکه‌دار}) = \frac{168 \div 6}{330 \div 6} = \frac{28}{55} \] پس احتمال اینکه از ۴ سیب انتخاب شده، ۳ سیب سالم و ۱ سیب لکه‌دار باشد، برابر با \( \frac{28}{55} \) است.