هوش مصنوعی جواب بده

برای حل سؤال، به معادلات داده شده توجه می‌کنیم: 1. \( ab = 2 \) 2. \( a + b = 4 \) ما باید مقدار \( a^2 - b^2 \) را پیدا کنیم. به یاد داشته باشید که از رابطه زیر می‌توان استفاده کرد: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \] با داشتن \( a + b = 4 \)، نیاز داریم مقدار \( a - b \) را پیدا کنیم. برای این منظور: 1. معادله \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \) را نوشته و مقدار \( a - b \) را بیابید. از معادله‌ی استاندارد مربع دو جمله‌ای: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] پس داریم: \[ 16 = a^2 + 2ab + b^2 \] رابطه‌ی \( ab = 2 \) را جایگزین کرده: \[ 16 = a^2 + 4 + b^2 \] \[ 12 = a^2 + b^2 \] اکنون مقدارهای \( a^2 \) و \( b^2 \) را در رابطه‌ی \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) جایگزین می‌کنیم: \[ (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 12 - 4 = 8 \] پس: \[ a - b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ یا } a - b = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2} \] اکنون عبارت \( a^2 - b^2 \) را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم: \[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] بنابراین، گزینه صحیح گزینه 4 یعنی \( 8\sqrt{2} \) است.