برای حل این مسأله، بیایید فرض کنیم سه نفر دارای سنهای \( x \)، \( y \) و \( z \) هستند که به ترتیب سنهای آنها به صورت زیر است:
1. مجموع سنها:
\[
x + y + z = 14
\]
2. حاصل ضرب سنها:
\[
x \cdot y \cdot z = 70
\]
این سه عدد باید اعداد صحیح مثبت باشند. برای پیدا کردن این اعداد، میتوانیم اول سنها را با فرض یکی از آنها به عنوان بزرگترین سن (مثلاً \( z \)) مشخص کنیم و سپس دو سن دیگر را بر اساس شرایط معادلات به دست آوریم.
بیایید چند عدد را امتحان کنیم که جمعشان ۱۴ باشد و حاصل ضربشان ۷۰ نیز باشد.
از آنجایی که حاصل ضرب سه عدد میباشد، میتوانیم ابتدا فاکتورهای ۷۰ را بیابیم:
\[
70 = 1 \times 70
\]
\[
70 = 2 \times 35
\]
\[
70 = 5 \times 14
\]
\[
70 = 7 \times 10
\]
با توجه به جمع سنها ۱۴، ما میتوانیم مجموعههایی از این فاکتورها را پیدا کنیم که جمعشان ۱۴ شود.
سعی میکنیم عددها را یکی یکی بررسی کنیم:
- بیایید \( z = 10 \) فرض کنیم:
\[
x + y + 10 = 14 \Rightarrow x + y = 4
\]
حاصل ضرب:
\[
x \cdot y \cdot 10 = 70 \Rightarrow x \cdot y = 7
\]
دو عدد که جمعشان 4 و حاصل ضربشان 7 باشد وجود ندارد زیرا برای دو عدد \( x \) و \( y \) بصورت معادلات درجه دو داریم:
\[
t^2 - (x+y)t + xy = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 7 = 0
\]
دارای دلایل منفی است.
- حالا بیایید \( z = 7 \) فرض کنیم:
\[
x + y + 7 = 14 \Rightarrow x + y = 7
\]
حاصل ضرب:
\[
x \cdot y \cdot 7 = 70 \Rightarrow x \cdot y = 10
\]
حالا باید دو عدد پیدا کنیم که جمعشان 7 و حاصل ضربشان 10 باشد:
این دو عدد 5 و 2 هستند:
\[
5 + 2 = 7 \quad و \quad 5 \cdot 2 = 10
\]
- حالا داریم:
\[
x = 2, \quad y = 5, \quad z = 7
\]
بنابراین، سن بزرگترین نفر (که \( z \) است) برابر با 7 سال میباشد.
نتیجه نهایی:
**سن بزرگترین نفر 7 سال است.**
