برای تعیین قدر نسبت دنباله‌های هندسی داده شده، ابتدا باید مشخص کنیم که هر دنباله به چه صورت تعریف می‌شود و چگونه می‌توانیم قدر نسبت آن را پیدا کنیم. ### الف) دنباله هندسی این دنباله به صورت: \( \sqrt{3} , 2 + \sqrt{3} , \ldots \) تعریف شده است. برای پیدا کردن قدر نسبت \( r \) کافی است نسبت جمله دوم به جمله اول را حساب کنیم: \[ r = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \] بنابراین، این دنباله هندسی با قدر نسبت \( r = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \) است. ### ب) دنباله هندسی این دنباله با \( a_1 = 3 \) و \( a_4 = -384 \) مشخص شده است. برای پیدا کردن قدر نسبت \( r \) از رابطه هندسی استفاده می‌کنیم: \[ a_n = a_1 \times r^{n-1} \] بنابراین برای \( n = 4 \): \[ -384 = 3 \times r^3 \] \[ r^3 = \frac{-384}{3} = -128 \] \[ r = \sqrt[3]{-128} = -4 \] ### ج) دنباله با جمله عمومی \[ b_n = 2 \left(-\frac{1}{5}\right)^{n+1} \] قدر نسبت \( r \) به صورت \( -\frac{1}{5} \) است، زیرا هر بار توان پایه \( -\frac{1}{5} \) افزایش می‌یابد. ### د) دنباله با جمله عمومی \[ c_n = \sqrt{3} (\sqrt{3})^{4n-6} \] قدر نسبت \( r \) از فرمول توان عبارت پیدا می‌شود: \[ c_n = (\sqrt{3})^{4n-5} \] بنابراین، \( c_{n+1} = (\sqrt{3})^{4(n+1)-5} = (\sqrt{3})^{4n-1} \) قدر نسبت \( r = (\sqrt{3})^4 = 9 \) با استفاده از محاسبات بالا می‌توانید قدر نسبت دنباله‌های هندسی مذکور را پیدا کنید.