برای حل مسائل داده شده، به صورت زیر عمل میکنیم:
1) \(\sqrt{4 + 4\sqrt{3}}\)
فرض کنید \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) مساوی \(\sqrt{4 + 4\sqrt{3}}\) باشد. بنابراین داریم:
\((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 4 + 4\sqrt{3}\)
بنابراین:
\(a + b = 4\) و \(2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}\)
از رابطه \(2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3}\):
\(\sqrt{ab} = 2\sqrt{3}\)
\(ab = 12\)
اکنون یک دستگاه معادلات داریم:
1. \(a + b = 4\)
2. \(ab = 12\)
با حل دستگاه معادلات بالا، \((x - 2)^2 = 3\) که جوابها \(a = 2 + \sqrt{3}\) و \(b = 2 - \sqrt{3}\) هستند.
بنابراین:
\(\sqrt{4 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}\)
2) \(\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}\)
فرض کنید \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) مساوی \(\sqrt{2 - 2\sqrt{2}}\) باشد. بنابراین داریم:
\((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = 2 - 2\sqrt{2}\)
بنابراین:
\(a + b = 2\) و \(-2\sqrt{ab} = -2\sqrt{2}\)
از رابطه \(-2\sqrt{ab} = -2\sqrt{2}\):
\(\sqrt{ab} = \sqrt{2}\)
\(ab = 2\)
اکنون یک دستگاه معادله داریم:
1. \(a + b = 2\)
2. \(ab = 2\)
باید \(a = 2\) و \(b = 0\) به دست بیاوریم که جواب صحیح پیدا کردن اعداد مربع کامل است.
بنابراین:
\(\sqrt{2 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{2}\)
3) \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\)
برای حل این عبارات، بازنویسی عبارات مشابه قبلی کمک میکند:
-\[(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}})\]
در اینجا فرض کنید:
\(\sqrt{a} - \sqrt{b} = x\)
پس \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = 4 - 2\sqrt{3}\)
سیستم معادلات مشابه قبلی میتواند به کار گرفته شود:
\(a + b = 4\) و \(-2\sqrt{ab} = -2\sqrt{3}\)
نتیجه:
\(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}\)
و
\(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}\)
بنابراین:
\(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4\)
نتیجه جوابها به صورت زیر است:
1. \(2 + \sqrt{3}\)
2. \(\sqrt{2}\)
3. \(4\)
