برای حل این سوال باید هر کسر را به صورت جداگانه بررسی کرده و سپس عبارت را یک کسر واحد کنیم.
عبارت داده شده:
\[
\frac{2\sqrt{x}}{x-1} + \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1}
\]
۱. کسرهای دوم و سوم را با ضرب همپایه میکنیم:
افزودن آنگاه ایجاد مخرج مشترک:
مخرج مشترک برای:
\[
(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = x - 1
\]
۲. گویاسازی کسر:
\[
\frac{1 \cdot (\sqrt{x} - 1) - 1 \cdot (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}
\]
که ساده میشود به:
\[
\frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{-2}{x - 1}
\]
۳. عبارت جدید:
\[
\frac{2\sqrt{x}}{x-1} + \frac{-2}{x-1}
\]
کسرها جمع میشوند:
\[
\frac{2\sqrt{x} - 2}{x-1}
\]
۴. از عبارت بالا میتوانیم 2 را خارج کنیم:
\[
\frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x-1}
\]
۵. در نهایت با ساده سازی:
\[
\frac{2\sqrt{x} - 2}{x-1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1}
\]
که برابر است با:
\[
\frac{2}{1} = 2 \quad \text{(برای } x \neq 1 \text{)}
\]
پاسخ نهایی:
\[ 2 \]
