برای حل معادله دلتا، ابتدا باید یک معادله درجه دوم را در نظر بگیریم که به شکل کلی زیر باشد:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
در این معادله:
- \( a \) ضریب \( x^2 \) است.
- \( b \) ضریب \( x \) است.
- \( c \) عدد ثابت است.
در سوال شما، معادله به شکل زیر است:
\[ 3x^2 + 7x + 4 = 0 \]
که در آن:
- \( a = 3 \)
- \( b = 7 \)
- \( c = 4 \)
برای پیدا کردن ریشه‌های این معادله، از فرمول دلتا (Δ) استفاده میکنیم:
\[ Δ = b^2 - 4ac \]
در ادامه، مقادیر را جای‌گذاری میکنیم:
\[ Δ = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 \]
حساب میکنیم:
\[ Δ = 49 - 48 = 1 \]
حالا که دلتا را محاسبه کردیم و برابر با 1 است، داریم:
1. اگر \( Δ > 0 \)، دو ریشه متمایز داریم.
2. اگر \( Δ = 0 \)، یک ریشه تکراری داریم.
3. اگر \( Δ < 0 \)، ریشه‌های مختلط داریم.
از آنجا که در اینجا \( Δ = 1 \) است که بزرگتر از 0 است، بنابراین دو ریشه متمایز داریم.
حال می‌توانیم ریشه‌ها را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a} \]
با جای‌گذاری مقادیر:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} \]
محاسبه را ادامه می‌دهیم:
\[ x = \frac{-7 \pm 1}{6} \]
حالا دو حالت داریم:
1. حالت اول:
\[ x_1 = \frac{-7 + 1}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]
2. حالت دوم:
\[ x_2 = \frac{-7 - 1}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]
نتیجه‌گیری:
ریشه‌های معادله \( 3x^2 + 7x + 4 = 0 \) به ترتیب \( x_1 = -1 \) و \( x_2 = -\frac{4}{3} \) هستند.
