با طول ضلع x و قطر کوچک ۸ یک لوزی رسم کرده ایم. ثابت کنید x بزرگتر از رادیکال ۳۲ است.

برای حل این سوال، ابتدا باید به خواص یک لوزی و ارتباط بین قطرها و اضلاع آن توجه کنیم. در یک لوزی، تمام اضلاع برابر هستند و قطرها یکدیگر را در وسط عمود بر هم تقسیم می‌کنند. اگر قطرهای یک لوزی را \( d_1 \) و \( d_2 \) بنامیم، می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم تا طول ضلع \( x \) را در نظر بگیریم: \[ x = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} \] در اینجا، ما قطر کوچک \( d_1 = 8 \) را داریم و فرض می‌کنیم قطر بزرگ \( d_2 \) نامشخص است. ما باید نشان دهیم که \( x > \sqrt{32} \). ۱. ابتدا رابطه را برای محاسبه طول ضلع \( x \) به کار می‌بریم: با توجه به \( d_1 = 8 \): \[ x = \frac{1}{2} \sqrt{8^2 + d_2^2} \] ۲. حالا می‌خواهیم نشان دهیم که \( x > \sqrt{32} \): به عبارت دیگر، باید نشان دهیم: \[ \frac{1}{2} \sqrt{64 + d_2^2} > \sqrt{32} \] ۳. حالا دو طرف معادله را در ۲ ضرب می‌کنیم: \[ \sqrt{64 + d_2^2} > 2\sqrt{32} \] که می‌تواند به شکل زیر نوشته شود: \[ \sqrt{64 + d_2^2} > \sqrt{128} \] ۴. با مربع کردن دو طرف معادله (با توجه به این که هر دو طرف مثبت هستند): \[ 64 + d_2^2 > 128 \] ۵. حالا با جمع و تفریق \( 64 \) می‌توانیم به این نتیجه برسیم: \[ d_2^2 > 64 \] ۶. بنابراین، نتیجه می‌گیریم: \[ d_2 > 8 \] بنابراین برای هر مقداری از \( d_2 \) که بزرگتر از 8 باشد، نتیجه می‌گیریم که طول ضلع \( x \) بزرگتر از \( \sqrt{32} \) است. به این ترتیب نشان دادیم که \( x > \sqrt{32} \).