برای حل این مسئله، باید دنباله حسابی را بررسی کنیم. در یک دنباله حسابی، اختلاف بین جملات دنباله ثابت است.
اطلاعات دادهشده:
\( a_{10} = 54 \)
\( a_4 = 24 \)
اختلاف دنباله را \( d \) مینامیم. معادلات زیر را مینویسیم:
\[ a_{10} = a_1 + 9d = 54 \]
\[ a_4 = a_1 + 3d = 24 \]
با حل این دو معادله به صورت همزمان:
از معادله دوم:
\[ a_1 + 3d = 24 \rightarrow a_1 = 24 - 3d \]
این مقدار را در معادله اول جایگزین میکنیم:
\[ 24 - 3d + 9d = 54 \]
\[ 24 + 6d = 54 \]
\[ 6d = 30 \]
\[ d = 5 \]
مقدار \( d \) را برابر 5 پیدا کردیم. حال \( a_1 \) را محاسبه میکنیم:
\[ a_1 = 24 - 3 \times 5 = 24 - 15 = 9 \]
برای پیدا کردن مجموع 50 جمله اول دنباله، از فرمول مجموع دنباله حسابی استفاده میکنیم:
\[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \]
\[ S_{50} = \frac{50}{2} \times (a_1 + a_{50}) \]
ابتدا \( a_{50} \) را پیدا میکنیم:
\[ a_{50} = a_1 + 49d = 9 + 49 \times 5 = 9 + 245 = 254 \]
سپس مجموع را حساب میکنیم:
\[ S_{50} = 25 \times (9 + 254) = 25 \times 263 = 6575 \]
بنابراین، مجموع 50 جمله اول دنباله برابر 6575 خواهد بود.
