برای حل سوال «معادله مماس بر تابع \( f(x) = -x^2 + 10x \) در نقطه \( x = 2 \)»، باید مراحل زیر را دنبال کنیم:
1. **یافتن مشتق تابع:**
تابع \( f(x) = -x^2 + 10x \) را مشتق میگیریم:
\( f'(x) = -2x + 10 \)
2. **مقداردهی به مشتق در نقطه مورد نظر:**
مقدار \( f'(2) \) را محاسبه میکنیم تا شیب خط مماس بدست آید:
\( f'(2) = -2(2) + 10 = -4 + 10 = 6 \)
3. **یافتن نقطه روی منحنی:**
مقدار تابع در \( x = 2 \) را پیدا میکنیم:
\( f(2) = -(2)^2 + 10(2) = -4 + 20 = 16 \)
نقطه مماس در \( (2, 16) \) قرار دارد.
4. **نوشتن معادله خط مماس:**
معادله خط مماس به فرم \( y = mx + b \) یا با استفاده از نقطه و شیب به فرم \( y - y_1 = m(x - x_1) \) است.
با جایگذاری \( m = 6 \)، \( x_1 = 2 \)، و \( y_1 = 16 \):
\( y - 16 = 6(x - 2) \)
معادله را ساده میکنیم:
\( y - 16 = 6x - 12 \)
\( y = 6x + 4 \)
بنابراین، معادله خط مماس \( y = 6x + 4 \) است.
