برای اثبات اینکه در هر مستطیل، قطرها با یکدیگر برابرند، به شکل مستطیل و ویژگیهای آن نگاه میکنیم.
تعریف مستطیل: مستطیل یک چهارضلعی است که زوایای داخلی آن راست (90 درجه) هستند.
فرض کنید مستطیل ABCD داریم که در آن:
- AB و CD اضلاع موازی هستند و طول برابر دارند.
- AD و BC نیز اضلاع موازی هستند و طول برابر دارند.
حال، قطرهای این مستطیل به صورت زیر تعریف میشوند:
- قطر AC از رأس A به رأس C میرود.
- قطر BD از رأس B به رأس D میرود.
برای نشان دادن اینکه AC = BD، از ویژگیهای مثلثها استفاده میکنیم.
راهنما برای اثبات:
1. مثلث ABC را در نظر بگیرید. در این مثلث:
- AB = CD (زیرا اضلاع موازى مستطیل برابرند).
- AD = BC (زیرا اضلاع موازى مستطیل برابرند).
- زاویه A و زاویه B هر دو 90 درجه هستند.
بنابراین، مثلث ABC و مثلث BCD هر دو مثلثهای قائمالزاویه با ضلعهای برابر میباشند. از آنجا که این دو مثلث با استفاده از زاویه مشترک (زاویه B) همارز هستند، میتوان نتیجه گرفت که:
- AC = BD (زیرا در مثلثها از خاصیت تساوی دو مثلث استفاده میکنیم).
با این استدلال، نشان دادیم که در هر مستطیل، طول دو قطر برابر است.
نتیجهگیری: در هر مستطیل، قطرهای آن برابرند.
