از بین تمام مستطیل هایی که طول و عرض آنها عددی طبیعی و محيط آنها ۳۶ است کدام یک بیش ترین را دارد

برای حل این سوال، بیایید به یاد داشته باشیم که محیط یک مستطیل از فرمول زیر محاسبه می‌شود: \[ P = 2 \times (l + w) \] که در آن \( P \) محیط، \( l \) طول و \( w \) عرض مستطیل است. در اینجا گفته شده که: \[ P = 36 \] بنابراین: \[ 2 \times (l + w) = 36 \] با تقسیم بر 2 داریم: \[ l + w = 18 \] از آنجا که طول و عرض باید اعداد طبیعی (مثبت) باشند، می‌توانیم \( w \) را به ازای \( l \) به صورت زیر بیان کنیم: \[ w = 18 - l \] حالا می‌خواهیم مساحت مستطیل \( A \) را محاسبه کنیم که از فرمول زیر بدست می‌آید: \[ A = l \times w = l \times (18 - l) \] بنابراین: \[ A = l \times (18 - l) = 18l - l^2 \] این معادله یک تابع درجه دوم است و برای پیدا کردن بیشینه آن، می‌توانیم از خصوصیات تابع درجه دوم استفاده کنیم. تابع \( A \) در واقع یک تابع همواره نزولی است که در نقطه رأس (که طول آن را می‌توان با استفاده از فرمول \( -\frac{b}{2a} \) پیدا کرد) بیشینه دارد. در این مثال \( a = -1 \) و \( b = 18 \): \[ l = -\frac{18}{2 \times -1} = 9 \] بنابراین: \[ l = 9 \] حال برای پیدا کردن \( w \): \[ w = 18 - l = 18 - 9 = 9 \] بنابراین، مستطیل با بیشترین مساحت وقتی ایجاد می‌شود که طول و عرض برابر باشند، یعنی: \( l = 9 \) و \( w = 9 \) حال می‌توانیم مساحت را محاسبه کنیم: \[ A = 9 \times 9 = 81 \] نهایتاً، مساحت بیشینه مستطیلی که محیط آن ۳۶ است برابر است با ۸۱ و آن مستطیل یک مربع به ابعاد \( 9 \) در \( 9 \) است.