برای حل این دو سوال به شرح زیر عمل می‌کنیم: ### سوال اول: دو عدد طبیعی پیدا کنید که حاصل جمع آن‌ها \(36\) و حاصل ضرب آن‌ها کمترین مقدار باشد. فرض کنید دو عدد \(x\) و \(y\) هستند. داریم: \[x + y = 36\] و می‌خواهیم \(xy\) کمترین مقدار باشد. با جایگذاری \(y = 36 - x\) در عبارت حاصل ضرب، به دست می‌آوریم: \xy = x, = 36x - x^2 برای یافتن نقطه بهینه، تابع \(xy = 36x - x^2\) را حداکثر/حداقل‌سازی می‌کنیم. Bالای این معادله یک معادله درجه دوم است و مینیمم (و نه ماکسیمم) برای \(x\) در رأس سهمی رخ می‌دهد. برای یک معادله درجه دوم به فرم \(ax^2 + bx + c\)، رأس در \(x = -\frac{b}{2a}\) قرار دارد. اما اینجا به جای استفاده مستقیم از این روش، متوجه می‌شویم که چون \(x\) و \(y\) طبیعی هستند، و می‌خواهیم حاصل ضرب کمترین مقدار را داشته باشد، اعداد باید نزدیک به هم باشند. بنابراین می‌توانیم نزدیک به نصف \(36\) را امتحان کنیم: اگر \(x = 18\) باشد، آنگاه \(y = 36 - 18 = 18\). حاصل ضرب \(xy = 18 \times 18 = 324\). بنابراین عددها 18 و 18 هستند. ### سوال دوم: توپی از ارتفاع 16 متری سطح، زمین رها می‌شود. پس از برخورد به زمین نصف ارتفاع قبلی را می‌پیماید. توپ تا سومین مرتبه‌ای که به زمین می‌خورد چه مقدار متر حرکت کرده است؟ 1. اولین بار توپ از ارتفاع 16 متری سقوط می‌کند: - مسافت طی شده: \(16\) متر 2. برخورد به زمین و سپس برگشت به ارتفاع \( \frac{16}{2} = 8 \) متر: - مسافت طی شده: \(8 + 8 = 16\) متر 3. مجدداً برخورد به زمین و برگشت به ارتفاع \( \frac{8}{2} = 4 \) متر: - مسافت طی شده: \(4 + 4 = 8\) متر بنابراین مجموع مسافت طی شده تا سومین برخورد برابر است با: \[16 + 16 + 8 = 40\] پس توپ در مجموع 40 متر حرکت کرده است.