همواره درست است ؟ چرا؟ |a+b|=|a|+|b|

رابطه‌ی /(|a+b|=|a|+|b|/) همیشه درست نیست، مگر در شرایط خاص. این رابطه فقط زمانی درست است که اعداد /(a/) و /(b/) دارای علامت‌های یکسان باشند یا یکی از آن‌ها برابر صفر باشد. دلیل این موضوع به تعریف ارزش مطلق برمی‌گردد. ارزش مطلق یک عدد، فاصله‌ی آن عدد از صفر در محور اعداد است و همیشه غیرمنفی است. برای روشن‌تر شدن مطلب، دو حالت را در نظر بگیرید: 1. **علامت‌های یکسان:** اگر /(a/) و /(b/) هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند: - اگر /(a/) و /(b/) مثبت باشند: /[ |a+b| = a + b = |a| + |b| /] - اگر /(a/) و /(b/) منفی باشند: /[ |a+b| = |-(|a|+|b|)| = |a| + |b| /] 2. **علامت‌های متفاوت:** اگر /(a/) و /(b/) دارای علامت‌های متفاوت باشند، مقدار /(|a+b|/) کمتر از /(|a|+|b|/) خواهد بود: - به عنوان مثال، اگر /(a = 3/) و /(b = -2/): /[ |a+b| = |3 - 2| = |1| = 1 /] در حالی که: /[ |a| + |b| = |3| + |-2| = 3 + 2 = 5 /] بنابراین، رابطه‌ی /(|a+b|=|a|+|b|/) فقط در شرایط خاصی درست است و در حالت کلی همیشه برقرار نیست.