در معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$، اگر ریشهها ۱ و $/frac{c}{a}$ باشند، مجموع ضرایب $a + b + c$ برابر خواهد بود با:
**توضیح:**
میدانیم که برای یک معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$:
* مجموع ریشهها برابر است با $-/frac{b}{a}$
* حاصلضرب ریشهها برابر است با $/frac{c}{a}$
در این مسئله، ریشهها ۱ و $/frac{c}{a}$ داده شدهاند.
1. **حاصلضرب ریشهها:**
با توجه به اینکه حاصلضرب ریشهها $/frac{c}{a}$ است و یکی از ریشهها نیز $/frac{c}{a}$ است، پس ریشه دیگر باید برابر ۱ باشد. این با اطلاعات مسئله مطابقت دارد.
$1 /times /frac{c}{a} = /frac{c}{a}$
2. مجموع ریشهها:
مجموع ریشهها برابر است با $1 + /frac{c}{a}$.
همچنین میدانیم که مجموع ریشهها برابر $-/frac{b}{a}$ است.
پس:
$1 + /frac{c}{a} = -/frac{b}{a}$
3. پیدا کردن رابطه بین ضرایب:
برای سادگی، طرفین معادله بالا را در aضرب میکنیم (با فرض اینکه $a /neq 0$ که در معادله درجه دوم برقرار است) a(1 + /frac{c}{a}) = a(-/frac{b}{a] a + c = -b
4. محاسبه مجموع ضرایب:
اکنون مجموع ضرایب ($a + b + c$) را محاسبه میکنیم:
$a + b + c = a + (-a - c) + c$ (از رابطه $b = -a - c$ استفاده کردیم)
$a + b + c = a - a - c + c$
$a + b + c = 0
پاسخ:
مجموع ضرایب معادله برابر صفراست.
