برای حل این مسأله میخواهیم بدانیم که اگر آب با دماهای مختلف با هم مخلوط شوند، دمای نهایی مخلوط چقدر خواهد بود. در اینجا از قاعده پایستگی انرژی استفاده میکنیم.
فرض کنید:
- \( m_1 \) جرم آب ۳۳ درجهای (گرم)
- \( m_2 \) جرم آب ۲۸ درجهای (گرم)
- \( m_3 = 800 \) گرم (جرم آب ۳۰ درجهای)
### دادهها:
- دمای آب ۳۳ درجه: \( T_1 = 33 \, °C \)
- دمای آب ۲۸ درجه: \( T_2 = 28 \, °C \)
- دمای آب ۳۰ درجه: \( T_3 = 30 \, °C \)
### استفاده از قاعده پایستگی انرژی:
حرارت از آب گرم به آب سرد منتقل میشود تا به تعادل دما برسند. بنابراین میتوانیم بنویسیم:
\[ m_1 (T_1 - T_f) + m_2 (T_2 - T_f) + m_3 (T_3 - T_f) = 0 \]
که در آن \( T_f \) دمای نهایی مخلوط است. در اینجا میدانیم که دمای نهایی باید با دماهای موجود تطابق داشته باشد.
### فرض دما:
بیایید دمای نهایی را به صورت میانگین وزنی محاسبه کنیم:
میانگین وزنی دما به عمل زیر انجام میشود:
\[
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2 + m_3 T_3}{m_1 + m_2 + m_3}
\]
حال، چون دمای نهایی ۳۰ درجه است، ما آن را برای رسیدن به پاسخ قرار میدهیم:
\[
30 = \frac{m_1 \cdot 33 + m_2 \cdot 28 + 800 \cdot 30}{m_1 + m_2 + 800}
\]
### حل معادله:
بگذارید طرفین معادله را ضرب کنیم تا از کسر خلاص شویم:
\[
30(m_1 + m_2 + 800) = m_1 \cdot 33 + m_2 \cdot 28 + 24000
\]
حالا کمی سادهسازی میکنیم:
\[
30m_1 + 30m_2 + 24000 = 33m_1 + 28m_2 + 24000
\]
حالا \( 24000 \) را از دو طرف معادله کسر میکنیم:
\[
30m_1 + 30m_2 = 33m_1 + 28m_2
\]
اکنون ما معادله را به شکل زیر درمیآوریم:
\[
30m_1 - 33m_1 + 30m_2 - 28m_2 = 0
\]
که به سادگی میتوانیم بنویسیم:
\[
-3m_1 + 2m_2 = 0
\]
بنابراین:
\[
3m_1 = 2m_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}
\]
### نتیجهگیری:
این نشان میدهد که برای مخلوط کردن دو حجم از آب ۳۳ درجه و ۲۸ درجه به طوری که با ۸۰۰ گرم آب ۳۰ درجه تا دما قرار گیرند، نسبت جرم اولیه آبها (۳۳ درجه به ۲۸ درجه) به ۲ به ۳ است. لذا برای هر ۲ گرم آب ۳۳ درجه، ۳ گرم آب ۲۸ درجه نیاز داریم.
