برای پاسخدهی به این سوال، باید مقدار عبارت داده شده را بررسی کنیم:
عبارت سوال:
\[
\frac{(a+b+c)^r + (a+b-c)^r}{a^r + b^r + c^r + r ab}
\]
و گزینهها:
1. \( a + b \)
2. \( 2 \)
3. \( a - b \)
4. \( 2c \)
برای حل این مسئله، ابتدا باید ببینیم که برای مقادیر خاصی از \( a \)، \( b \)، \( c \) و \( r \)، چه نتیجهای حاصل میشود. به طور مثال میتوانیم مقادیر خاصی مانند \( r = 1 \) یا \( r = 0 \) را جایگذاری کنیم و رفتار عبارت را ببینیم.
### بررسی برای \( r = 1 \) :
\[
\frac{(a+b+c) + (a+b-c)}{a + b + c + r ab} = \frac{2a + 2b}{a + b + c + ab}
\]
در این حالت معنای خاصی دیده نمیشود که به یکی از گزینهها منجر شود. اما بررسی خاصی از رابطه به پایین آوردن توان میتواند انجام شود.
### بررسی برای \( r = 2 \) :
\[
\frac{(a+b+c)^2 + (a+b-c)^2}{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab}
\]
سادهسازی:
\( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \)
\( (a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc \)
جمع این دو عبارت:
\[
(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc) = 2(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab)
\]
که برابر خواهد بود با:
\[
2(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab)
\]
پس کسر کامل میشود:
\[
\frac{2(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab)}{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab} = 2
\]
بنابراین، گزینه صحیح \( 2 \) است.
