برای حل سوالات زیر، ابتدا باید قوانین توان را به خاطر داشته باشیم:
1. \((am)^n = a^{mn}\)
2. \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
3. \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
4. \(a^0 = 1\)
5. \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\)
حالا بیایید سوالات را بررسی و حل کنیم:
**الف:**
\[
2^{-7} \times 2^3 \times 8
\]
ابتدا باید \(8\) را به توانهای 2 تبدیل کنیم:
\[
2^{-7} \times 2^3 \times (2^3)
\]
حالا توانها را جمع کنیم:
\[
2^{-7 + 3 + 3} = 2^{-1}
\]
بنابراین:
\[
2^{-1} = \frac{1}{2}
\]
**ب:**
\[
4^{-3} \times 12^{-2} \times 3^{-3}
\]
ابتدا \(4\) و \(12\) را به عنوان توانهای اعداد اول بنویسیم:
\[
(2^2)^{-3} \times (2^2 \times 3)^{-2} \times 3^{-3}
\]
\[
= 2^{-6} \times 2^{-4} \times 3^{-2} \times 3^{-3}
\]
حالا توانها را جمع کنیم:
\[
= 2^{-6-4} \times 3^{-2-3} = 2^{-10} \times 3^{-5}
\]
**ج:**
\[
\frac{9^{-1} \times 3^2}{3^{-2} \times \frac{1}{27}}
\]
ابتدا همه اعداد را در توانهای اول بنویسیم:
\[
\frac{(3^2)^{-1} \times 3^2}{3^{-2} \times 3^{-3}}
\]
حالا توانها را ساده کنیم:
\[
= \frac{3^{-2} \times 3^2}{3^{-2-3}}
\]
\[
= 3^{0} \times 3^{5} = 3^{5} \quad \rightarrow \text{چون توان 0 داریم برابر 1 است}
\]
**د:**
\[
\frac{a^{-x} \times b^{x} \times c^{y}}{a^{x} \times b^{x} \times c^{y}}
\]
ابتدا توانها را با هم مقایسه کنیم:
\[
= a^{-x-x} \times b^{x-x} \times c^{y-y}
\]
\[
= a^{-2x} \times b^{0} \times c^{0} = \frac{1}{a^{2x}}
\]
نتایج نهایی:
الف) \(\frac{1}{2}\)
ب) \(2^{-10} \times 3^{-5}\)
ج) \(3^{5}\)
د) \(\frac{1}{a^{2x}}\)