برای حل این سوال ابتدا باید مشتق تابع \( f(x) = (x - 3)^3 + 1 \) را پیدا کنیم.
### مرحله ۱: مشتقگیری
تابع داده شده \( f(x) = (x - 3)^3 + 1 \) است. برای مشتقگیری، از قاعده زنجیرهای استفاده میکنیم:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} [(x - 3)^3 + 1] = 3(x - 3)^2 \cdot (x - 3)' + 0
\]
چون \( (x - 3)' = 1 \)، پس داریم:
\[
f'(x) = 3(x - 3)^2
\]
### مرحله ۲: رسم نمودار
- تابع اصلی \( f(x) = (x - 3)^3 + 1 \) یک تابع مکعبی است که حول نقطه \((3, 1)\) نسبت به تابع مکعب استاندارد \((x^3)\) انتقال یافته است.
- مشتق \( f'(x) = 3(x - 3)^2 \) نشان میدهد نقاط بحرانی در \( x = 3 \) وجود دارند زیرا \( f'(x) = 0 \).
در \( x = 3 \):
- \( f'(x) = 0 \)، این نقطه یک نقطه بحرانی است.
- در نقاطی که \( x \neq 3 \)، \( f'(x) \) مثبت است، بنابراین تابع در آن نقاط صعودی است.
### نتیجهگیری
- برای \( x = 3 \)، تابع یک نقطه بحرانی (نقطه افقی) دارد.
- تابع برای \( x < 3 \) و \( x > 3 \) صعودی است.
پس، با استفاده از اطلاعات مشتق، میتوانید نمودار تابع و نقاط بحرانی آن را ترسیم کنید. این توصیف کمک خواهد کرد تا نمودار را دقیقتر رسم کنید و رفتار تابع را درک کنید.
