برای حل این سوال باید تابع \( f \) داده شده را بررسی کنیم و سپس تابع معکوس \( f^{-1} \) را بیابیم و بعد تعداد زوج مرتب‌های ترکیب \( f \circ f^{-1} \) را تعیین کنیم.
تابع \( f \) داده شده به صورت زیر است:
\[ f = \{(-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, -1)\} \]
با توجه به \( f \)، زوج‌های وارونه را برای \( f^{-1} \) می‌نویسیم:
\[ f^{-1} = \{(0, -1), (1, 0), (2, 1), (-1, 2)\} \]
حال ترکیب \( f \circ f^{-1} \) را بررسی می‌کنیم:
1. اگر \( x = 0 \)، از \( f^{-1} \) داریم: \( f^{-1}(0) = -1 \) و سپس \( f(-1) = 0 \)، بنابراین \( (0,0) \).
2. اگر \( x = 1 \)، از \( f^{-1} \) داریم: \( f^{-1}(1) = 0 \) و سپس \( f(0) = 1 \)، بنابراین \( (1,1) \).
3. اگر \( x = 2 \)، از \( f^{-1} \) داریم: \( f^{-1}(2) = 1 \) و سپس \( f(1) = 2 \)، بنابراین \( (2,2) \).
4. اگر \( x = -1 \)، از \( f^{-1} \) داریم: \( f^{-1}(-1) = 2 \) و سپس \( f(2) = -1 \)، بنابراین \( (-1,-1) \).
بنابراین، ترکیب \( f \circ f^{-1} \) برابر با \( \{(0,0), (1,1), (2,2), (-1,-1)\} \) است که شامل ۴ زوج مرتب می‌باشد.
پاسخ: گزینه ۴، چهار زوج مرتب.
