برای حل این سوال باید حد زیر را محاسبه کنیم:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(2) - f(2 - 3h)}{2h}
\]
و تابع \( f(x) = \frac{x+1}{2x-1} \) است.
ابتدا \( f(2) \) را محاسبه میکنیم:
\[
f(2) = \frac{2 + 1}{2 \times 2 - 1} = \frac{3}{3} = 1
\]
حالا \( f(2 - 3h) \) را محاسبه میکنیم:
\[
f(2 - 3h) = \frac{(2 - 3h) + 1}{2(2 - 3h) - 1} = \frac{3 - 3h}{4 - 6h - 1} = \frac{3 - 3h}{3 - 6h}
\]
جمله حد را دوباره مینویسیم:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \frac{3 - 3h}{3 - 6h}}{2h}
\]
بسط میدهیم:
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{(3 - 6h) - (3 - 3h)}{(3 - 6h) \cdot 2h}
\]
سادهسازی میکنیم:
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{-3h}{(3 - 6h) \cdot 2h}
\]
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{-3}{2(3 - 6h)}
\]
وقتی \( h \to 0 \) میشود، عبارت به:
\[
= \frac{-3}{2 \times 3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
\]
بنابراین مقدار حد برابر است با \(-\frac{1}{2}\).