برای تعیین دامنه تابع \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9} \)، ابتدا باید بررسی کنیم که مقدار داخل ریشه یعنی \( x^2 + 9 \) چه مقداری میتواند بگیرد.
1. **تحلیل عبارت زیر ریشه**:
- عبارت \( x^2 \) برای هر عدد حقیقی \( x \) غیرمنفی (≥ 0) است. یعنی \( x^2 \geq 0 \).
- حالا با توجه به اینکه 9 یک عدد مثبت است، میگوییم:
\[
x^2 + 9 \geq 0 + 9 = 9
\]
- بنابراین، \( x^2 + 9 \) همیشه حداقل برابر با 9 است.
2. **یافتن دامنه تابع**:
- حالا با توجه به اینکه \( x^2 + 9 \) همیشه بزرگتر یا مساوی 9 است، میتوانیم نتیجه بگیریم که:
\[
\sqrt{x^2 + 9} \geq \sqrt{9} = 3
\]
- پس مقدار تابع \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9} \) همواره بزرگتر یا مساوی 3 خواهد بود.
3. **نتیجهگیری**:
- از آنجایی که تابع \( f(x) \) نمیتواند مقداری کمتر از 3 بگیرد، دامنه تابع یعنی مجموعه مقادیر ممکن تابع به صورت زیر است:
\[
\text{دامنه } f(x) = [3, +\infty)
\]
بنابراین، دامنه این تابع همه اعداد حقیقی نیست، بلکه فقط شامل اعداد بزرگتر یا مساوی 3 است.
