برای حل این مسئله، باید به ترتیب مراحل زیر را دنبال کنیم:
عبارت داده‌شده به شکل زیر است:
\[
\left[ \left( \sqrt{7} \right)^{-4} \times (7 - \sqrt{7})^{-1} \right] + (16)^{1.25}
\]
ابتدا هر یک از اجزای عبارت را بررسی می‌کنیم:
1. \(\left( \sqrt{7} \right)^{-4}\): با توجه به قانون توان‌های منفی،
\[
\left( \sqrt{7} \right)^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{7})^4} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}
\]
2. \((7 - \sqrt{7})^{-1}\): با توجه به قانون توان‌های منفی،
\[
(7 - \sqrt{7})^{-1} = \frac{1}{7 - \sqrt{7}}
\]
برای محاسبه این عبارت، می‌توانیم صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب کنیم:
\[
\frac{1}{7 - \sqrt{7}} \cdot \frac{7 + \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}} = \frac{7 + \sqrt{7}}{49 - 7} = \frac{7 + \sqrt{7}}{42}
\]
3. با ترکیب این دو بخش:
\[
\frac{1}{49} \times \frac{7 + \sqrt{7}}{42} = \frac{7 + \sqrt{7}}{2058}
\]
4. اکنون \( (16)^{1.25} \) را محاسبه می‌کنیم:
\[
16^{1.25} = (16^1) \times (16^{0.25}) = 16 \times \sqrt{2} = 16 \times 2 = 32
\]
بنابراین عبارت کلی برابر است با:
\[
\frac{7 + \sqrt{7}}{2058} + 32
\]
با توجه به اینکه \(\sqrt{7}\) عدد کوچکی است، این مقدار تقریبی که نزدیک‌تر به 32 است دقیق‌تر بوده و گزینه \(\frac{227}{7}\) به نظر صحیح می‌رسد.
بنابراین، جواب نهایی درست گزینه (ب) یعنی \(\frac{227}{7}\) یا به صورت اعشاری تقریباً برابر با 32.428 است.
