برای تجزیه عبارت \(8x^2 + 2xy + y^2\)، میتوانیم به روشهای مختلفی عمل کنیم. یکی از روشها استفاده از فاکتورگیری است.
عبارت مورد نظر را به این صورت مینویسیم:
\[ 8x^2 + 2xy + y^2 \]
1. نگاه کنیم که آیا میتوانیم آن را به شکل یک مربع کامل تبدیل کنیم. در اینجا سعی میکنیم عبارتی به صورت \((ax + by)^2\) پیدا کنیم.
\((ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2\)
2. حال باید ضرایب را با هم تطبیق دهیم:
- \(a^2 = 8\)
- \(2ab = 2\)
- \(b^2 = 1\)
3. با حل کردن این معادلات میتوانیم \(a\) و \(b\) را بیابیم:
از \(b^2 = 1\)، \(b = 1\).
از \(2ab = 2\)، \(2a \cdot 1 = 2 \Rightarrow a = 1\).
4. اما \(a^2 = 8\) با \(a = 1\) جور در نمیآید. به نظر میرسد که نمیتوانیم به مربع کامل تبدیل کنیم و باید روش دیگری را امتحان کنیم. با این حال سعی میکنیم عبارت را به شکل دیگری فاکتور کنیم.
5. حال، میتوانیم امتحان کنیم که آیا میتوان با استفاده از فاکتورگیری معمولی این را تجزیه کرد. یک راه امتحان تغییر ترتیب و تشخیص یک ترتیب مناسب از فاکتورها است. ابتدا میکنیم:
- به صورت \( (4x + y)(2x + y) \) بنویسیم:
\[ (4x + y)(2x + y) = 8x^2 + 4xy + 2xy + y^2 = 8x^2 + 2xy + y^2 \]
بنابراین عبارت به صورت \((4x + y)(2x + y)\) تجزیه میشود.
